Reine Anschauung: Kant für Kinder

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Es gibt eine Schnittstelle zwischen Kants Erkenntnistheorie und Mathematikdidaktik – dessen bin ich mir sicher! Ich kann sie auch ganz schnell erläutern, nachdem ich nunmehr nach der Einschulung auch unserer Jüngeren letzten September beide Kinder, die wohlgemerkt mit unterschiedlichen Ansätzen lernen, für einige Zeit in ihren Fortschritten beobachtet habe.

Die eine zieht beim Rechnen gelegentlich Anschauungshilfen dem Kopfrechnen vor. Sie nimmt dazu nicht mehr gegenständlich ihre Finger. Eher stellt sie sich vor, sie hätte ihre Finger gespreizt und nachgezählt.

Die andere musste sehr früh ohne Anschauungshilfen auskommen lernen.

Nun habe ich zwar keine Experimente durchgeführt, aber die freie Beobachtung der Kinder führt mich zu folgenden Betrachtungen: Kopfrechnen stellt vordergründig  sprachliches und kein rein mathematisches Können dar. Aber Rechnen mit Anschauungsmitteln ist – wenngleich „primitiver“ – Ausdruck rein mathematischen Könnens. Mathematik basiert auf Anschauung, meinte Kant.

Beim Kopfrechnen kommen sprachliche Regeln zur Anwendung – z.B. die Regel: „Immer wenn ich vier oder vierund-x-zig zu fünf oder fünfund-x-zig addiere, bekomme ich neun oder neunund-x-zig“. Die Neun wird damit als ein anderer Name für vier plus fünf behandelt. Dann gibt es die Zig-Regel: Zwanzig plus zwanzig ist wie zwei plus zwei mit der Endung „-zig“. Die Kinder wissen natürlich, dass diese deutsche Regel mit der griechischen Regel äquivalent ist: Eikosi plus eikosi ist wie dyo plus dyo mit der Endung „-anta“. Zwar ist das linguistisch gesehen eine Regel, die das Unwort „tesseranta“ ableiten lässt, aber die Brücke zum neugriechischen „saranta“ für vierzig schlagen die Kinder sofort. Das nur am Rande, denn es geht mir beim Vergleich beider Sprachen um etwas anderes: Die Kinder tendieren generell dazu, auf die deutsch formulierte Frage: „Wieviel ist zwanzig plus zwanzig?“ die Antwort „vierzig“  zu geben. Auf die damit gleichbedeutende neugriechische Frage aber: „Poso kanei eikosi kai eikosi?“ geben sie die Antwort „saranta“. Sie bleiben der Sprache treu, in der die Frage formuliert wurde.

Nicht so allerdings unter Verwendung von Anschauungshilfen! Haben sie auf einmal Probleme damit, spontan 18+13 zu errechnen, und greifen sie auf Anschauungshilfen zurück, dann muss ich eine Antwort in der in unserer Familie und Umgebung dominanten Sprache erwarten, d.h. auf Deutsch, selbst wenn der Diskussionskontext neugriechisch war. Der Umstand, dass ein Kind das „primitive“, „Kantische“ Rechnen mit Anschauungshilfen eventuell nicht mit Bezug auf die gerade gesprochene Einzelsprache durchführt, sondern in einer anderen, dient mir als Indiz dafür, dass dieses Rechnen nicht sprachlich „kodifiziert“ ist.

Im Zweifelsfall über die Effektivität der sprachlichen Rechenregeln ist diejenige Tochter schneller, die das „primitive“, „Kantische“ Rechnen nicht verlernt hat. Die andere muss sich lange mit ihren Sprachregeln für Rechnen abmühen.

Erstellt irgendein italienischer Kellner in der Pizzeria die Rechnung auf Deutsch statt auf Italienisch? Wenn ja, dann muss er ein Kantianer sein – und wahrscheinlich mit dem Abakus rechnen.

Neumuenster_Gymnasium_Immanuel-Kant-Schule

Kantian theory of knowledge and the didactics of mathematics converge at some point. I’m certain about this after I observed since last September both of my children instead of until then only one in their progress in maths. I have to add that they visit different schools with different approaches in the subject.

I have one daughter who takes assistance from her intuition. She doesn’t use her fingers for this anymore. She just imagines she would use her fingers – which is clever, I think, although primitive on a methodological level.

My other daughter had to learn very early to do her math without any assistance from intuition.

Without experiments, just by observing, I realized that mental arithmetic is a linguistic, not a purely mathematical competence. But arithmetic with intuitive tools is – although more „primitive“ – an expression of mathematical thinking. Kant said that mathematics is based on intuition.

In mental arithmetic the rules are linguistic. Take the rule: „Whenever I add four or x-ty four to five or x-ty five then the result is nine or x-ty nine“. Nine is in this case another name for four plus five. Take one more rule: „Twenty plus twenty is like two plus two with the ending -ty“. My children know of course that this English rule is equivalent with the Greek rule:  Eikosi plus eikosi is like dyo plus dyo with the ending „-anta“. Linguistically, what you get out of this, is the monster word „tesseranta“ but this is not a big problem. The children think of the monster word and pronounce the correct modern Greek term for fourty: „saranta“. This is here not the issue anyway. The issue is that I realized that my children tend to stay faithful to the language in which questions are asked. If you ask them „How much is twenty plus twenty?“ they’ll reply: „fourty“. But if you ask them the equivalent Greek question: „Poso kanei eikosi kai eikosi?“ they’ll reply: „saranta“.

I’m not ready yet – there is something remarkable coming: If you ask my children to calculate 18 + 13 and allow them to take assistance from intuition – say, their pencils – then they’ll reply in the dominant language of our social environment, i.e. German, even if you formulate your question in English or Modern Greek. I take this as an indication that the more „primitive“, „Kantian“ calculation with assistance from intuition is not linguistically „codified“. My daughter who didn’t forget the „primitive“ „Kantian“ calculation is very quick in recognizing that she has to count and not to apply linguistic rules while the other considers her mental rules for calculation for some more time.

No Italian Pizzeria waiter calculates in English when he writes down the bill. They always do so in Italian and apply the linguistic rules for mental arithmetic which they learned when they were children. If you meet an Italian waiter who calculates in English, you’ll be justified to call him a Kantian and to ask him where he hides his abacus.

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