Bayesian probabilities, credibility, and the talking frog

Augsburger Puppenkiste

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Der Vorhang ging auf und die Königin war verzweifelt. Fünf Jahre Ehe ohne Kind. Kein Arzt, kein Rat, der ihr helfen könnte. Bis ihr eines Tages im Bad ein Frosch erschien, der ihr prophezeite, sie würde, bevor ein Jahr vergeht, ein Kind bekommen.

Das Kind kommt zur Welt, zwölf Feen sind eingeladen, die dreizehnte nicht. Mit der Verwünschung der dreizehnten Fee geht der Vorhang wieder zu. Pause.

Frage an die Kinder: Was hättet ihr mehr geglaubt, Kinder, wenn ein Arzt der Königin Dornröschens Geburt vorausgesagt hätte oder so wie es gekommen ist: durch den Frosch? Einhellig waren sie der Meinung, der Frosch war glaubwürdiger als jeder Arzt es je sein könnte. Schließlich ist ein sprechender Frosch etwas dermaßen Außergewöhnliches, dass der Glaube an etwas anderes Außergewöhnliches durch seine Existenz leichter gemacht wird.

Das wollte ich mir angucken. Auf der Fahrt von Augsburg zurück nach München sitzt meine Frau am Steuer und ich nehme Papier und Stift. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Königin bei der Vorgeschichte ein Kind bekommt unter der Bedingung, dass ein Arzt das voraussagt, liegt, sagen wir, bei 10%. Denn:

x = P (Königin bekommt ein Kind, gesetzt dass ein Arzt das voraussagt) = P (Königin bekommt ein Kind & ein Arzt sagt das voraus) / P (Ein Arzt sagt das voraus)

Aber der Zähler ist gleich mit:

P (Ein Arzt sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt, gesetzt dass diese zum Schluss ein Kind bekommt) X P (Die Königin bekommt ein Kind)

Damit ergibt die obere Gleichung für die Werte P (Ein Arzt sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt) = P (Ein Arzt sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt, gesetzt dass diese zum Schluss ein Kind bekommt) = 50% und P (Die Königin bekommt ein Kind) = 10% eben x = 10%.

(Ob die Königin tatsächlich ein Kind bekommt oder nicht, hat offensichtlich mit der Voraussage eines Arztes bezüglich einer Schwangerschaft, die „bevor ein Jahr vergeht“, abgeschlossen sein wird, nichts zu tun. Deshalb der Wert 50%).

Wenden wir uns jetzt dem Fall mit dem Frosch zu:

y = P (Königin bekommt ein Kind, gesetzt dass ein Frosch das voraussagt) = P (Königin bekommt ein Kind & ein Frosch sagt das voraus) / P (Ein Frosch sagt das voraus)

Aber der Zähler ist gleich mit:

P (Ein Frosch sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt, gesetzt dass diese zum Schluss ein Kind bekommt) X P (Die Königin bekommt ein Kind)

Für die Werte P (Ein Frosch sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt) = 0,001%, P (Ein Frosch sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt, gesetzt dass diese zum Schluss ein Kind bekommt) = 0,01% und P (Die Königin bekommt ein Kind) = 10% bekommen wir y = 100%.

Unter diesem Aspekt hatten die Kinder eine Intuition geäußert, die sich unschwer in einer bayesianischen Wahrscheinlichkeitsrechnung ausdrücken lässt. Man kann natürlich entgegnen, dass die einzelnen Werte, die ich postulierte, der Begründung bedürfen. Nun, ich nehme an, dass sprechende Frösche in Märchen nicht unmöglich sind (deshalb 0,001% statt einer glatten Null), dass sprechende Frösche – anders als Ärzte – ungewöhnliche Wesen sind, die – ebenfalls anders als Ärzte – erscheinen, weil sie stets einen besonderen Platz in der Ökonomie einer Geschichte einnehmen (deshalb 0,01% statt 0,001%). Die Wahrscheinlichkeit für die Schwangerschaft der Königin und die Geburt von Dornröschen bleibt natürlich gleich.

Dass Kinder eine richtige bayesianische Intuition haben, ist natürlich bereits eine wichtige Erkenntnis. Diese Intuition zeigt allerdings, dass die bayesianischen Wahrscheinlichkeiten manchmal prekäre Resultate haben. Nach analogen Überlegungen wäre ein Arzt zuverlässiger, wenn er auf einem fliegenden Teppich im OP-Saal eintrifft.

Es gibt Vorschläge zur Rettung des Bayesianismus als Instrument zur Berechnung der Plausibilität wissenschaftlicher Hypothesen vor Richard Swinburnes Theismus. Ich glaube nicht, dass der Bayesianismus der „Rettung“ bedarf. Vielmehr muss die Wissenschaftsphilosophie sich damit abfinden, dass wissenschaftliche Erklärungen manchmal dem alltäglichen Erklärungsbegriff von Kindern nicht entsprechen einschließlich derer, die echte bayesianische Erklärungen darstellen. Das ist schlecht und zwar für den wissenschaftlichen, nicht für den bayesianischen Erklärungsbegriff.

Denn, während wir wissen, was eine Erklärung nach Bayes ist, bleiben wir im Unklaren darüber, was eine wissenschaftliche Erklärung ist. Eine bayesianische ist sie jedenfalls nicht.

ENOUGH WITH SCROLLING

The curtain opened and the queen was desperate. Five years of marriage without a child and no physician or advice there to help her. Until one day in the bath a frog appears to her and prophesizes that before one year passes the queen will give birth to a baby.

The child is born, twelve fairies are invited, the thirteenth is ignored. The curtain closes for the interval after the thirteenth fairy has spoken out her curse.

I ask the children: Would you rather believe a physician who would predict Sleeping Beauty’s birth or is the frog more credible? They were of the unanimous opinion that no physician would be as credible as the frog. A talking frog is something unusual and he makes the happening of other unusual things plausible.

I wanted to see if they were right. My wife drove us home from Augsburg and I took a piece of paper and a pencil while still in the car. The probability of the queen’s giving birth to a child after her prehistory and under the condition that a physician predicted so is, say 10%. My calculations:

x = P (the queen gives birth to a baby under the condition that a physician predicts so) = P (the queen gives birth to a baby & a physician predicts so) / P (a physician predicts so)

But the numerator equals:

P (a physician predicts that the queen will give birth to a baby under the condition that she will give birth to a baby after all) X P (the queen gives birth to a baby)

Assuming the following values: P (a physician predicts that the queen will give birth to a baby) = P (a physician predicts that the queen will give birth to a baby under the condition that she will give birth to a baby after all) = 50% and P (the queen gives birth to a baby) = 10%, we get x = 10%.

(The value 50% for two probabilities is justified if you consider that it is irrelevant for the physician’s prediction whether the queen will give birth a baby after all „before one year passes“).

Let me now turn to the case with the frog:

y = P (the queen gives birth to a baby under the condition that a frog prophesizes so) = P (the queen gives birth to a baby & a frog prophesizes so) / P (a frog prophesizes that the queen will give birth to a baby)

The numerator equals:

P (a frog prophesizes that the queen will bear a baby under the condition that she will have a baby after all) X P (the queen will bear a baby)

Assuming the following values: P (a frog prophesizes that the queen will give birth to a baby) = 0,001%, P (a frog prophesizes that the queen will give birth to a baby under the condition that she will give birth to a baby after all) = 0,01% and P (the queen will give birth to a baby) = 10% , we get y = 100%.

As one sees, the kids expressed an intuition which can be easily formalized in terms of Bayesian probabilities. Of course, you can say that the assumed values have to be justified. Let me make the case for these values also: talking frogs are inhabitants of possible worlds in which fairy tales take place – therefore 0,001% instead of a plain zero. But, unlike physicians, talking frogs are unusual entities which, unlike physicians again, appear to play a special role in the economy of every story in which they appear – therefore 0,01% instead of 0,001%. And, of course, the probability of the queen’s giving birth to Sleeping Beauty remains the same.

Children, it seems, have Bayesian intuitions. And this is already an important piece of knowledge. But this intuition shows that Bayesian probabilities are not immune to strange results. Analogous considerations to the ones made above would show that a surgeon appears to be more capable, reliable or you name it if he arrives to the operating room on a flying carpet.

Richard Swinburne’s Bayesian theism gives sceptics the idea to save Bayesianism as an instrument of calculation of the plausibility of scientific hyptheses. I don’t believe that Bayesianism needs to be „saved“. It’s rather philosophy of science which has to accept that scientific explanation very often does not do justice to everyday explanations like the ones which children have – including those explanations of children which are genuine Bayesian explanations.

This is too bad for scientific explanation because it means that scientific explanation is not a Bayesian explanation. We remain in the dark as to what a scientific explanation actually is whereas at the same time we know, of course, what a Bayesian explanation is and eo ipso what kind of explanations children would tend to give.

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