The grasshoppers catcher’s fallacy


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Die eine Tochter protzt mit ihren Fähigkeiten als Grashüpferfängerin, die andere relativiert, ihre Schwester fange doch nur einunddenselben, offenbar nicht den hellsten. Sie fange ihn, lasse ihn los, fange ihn, lasse ihn los…

Das sei immer noch eine beachtliche Leistung, will ich die Protzende in Schutz nehmen.

Schließlich sind die Chancen, denselben oder einen anderen zu fangen, genau gleich.

Dabei wollte ich den Spielerfehlschluss vermeiden. Bei jedem Wurf hat man nämlich eine Chance von sechs, einen Sechser zu würfeln, was auch gilt, wenn die vergangenen x Würfe auch Sechser waren.

Ich habe zwar eine Intuition, dass die Flächen eines Würfels und die Grashüpfer um uns herum als mathematische Gegenstände nicht analog sind, aber Kindern und Jugendlichen sollte man zuerst beibringen, dass Abstraktionen der Fall sind. Dass die Welt anders ist, erfahren sie nach und nach, wenn man sie mit etwas Misstrauen geimpft hat. Diese Aufgabe kann und soll man ihnen nicht abnehmen.


Enough with scrolling

My one daughter boasts that she caught three grasshoppers. The other accuses her of catching the same grasshopper three times. She catches a grasshopper who’s obviously not the brightest, then lets it go and catches it again…

And again…

It is an achievement even if it’s the same grasshopper, Marta. You have the same chances for catching the same or another one.

said I trying to rescue Greta’s boasting. My thought was to avoid the gambler’s fallacy. Unlike what the gambler thinks, any number of a fair die has exactly the same chances as any other, independently of the prehistory.

But the analogy between the faces of a fair die and the grasshoppers around you is false. This is an intuition, of course, and one must take pains to formalise intuitions. 

However, this discussion may not be made with my daughters. And also not in class. We must make the young ones think that abstractions are true. And vaccinate them with some mistrust so that they can find out themselves where abstractions are not adequate. You can’t do this job for them…

Palmenkätzchen: eine Allegorie für die Kindheit, eine Metapher für die Weide, ein soritisches Rätsel

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Wer es als Philosophiehistoriker satt hat, verschiedene tote Berühmtheiten doxographisch zu besprechen, sollte mal Philosophieren mit Kindern versuchen. Nicht weil die Acht- bis – sagen wir – Zwölfjährigen ein extrem fruchtbarer Boden sind. Das natürlich auch, aber darum geht’s mir gerade nicht. Acht- bis Zwölfjährige sind am Gedanken, nicht an den historischen Umständen um einen Gedanken interessiert. Sie sind ahistorisch. Nebenbei bemerkt finde ich „Platon & Co“, die philosophische Kinderrreihe des diaphanes Verlags, sehr sympathisch, gerade weil sie nicht historisierende Darstellungen von Einzeldenkern enthält. Hätte sie noch mehr Anachronismen anzubieten, würde ich sie als noch sympathischer empfinden. Aber das ist wahrscheinlich nur mein Geschmack. Jedenfalls versuche ich für eine eigene Reihe, die bei Philosophia Verag herauskommen soll, Autoren für anachronistische Dialoge zu finden.Ockham diskutiert mit Arthur Prior; Thomas von Aquin diskutiert mit Wittgenstein usw. Das wäre freilich nichts für Kinder und deshalb gehört es nicht zum heutigen Thema.

Kinder philosophieren gern. Und zwar ahistorisch. Ich zitiere aus dem Gedächtnis aus einer Diskussion, die am vergangenen Donnerstag stattfand, viel eher die Besprechung eines Kinderlieds, in dem Kinder die gerade treibenden Palmenkätzchen fragen, wo sie denn vorher waren. „Im Geäst, aber das waren wir noch nicht“, antworten die Weidenkätzchen. Ich unterbrach den Gesang und fragte:

  • Moment, ich hab‘ nicht verstanden, seit wann es die Weidenkätzchen gibt.
  • Seit sie ausgeschlagen sind.
  • Und vorher?
  • Vorher waren sie im Geäst.
  • Aber sie sagen gerade, dass sie es nicht waren!
  • Sie waren es, aber nicht ganz.
  • Schön! Seit wann gibt’s sie also?
  • Seit sie im Geäst sind, aber anders.

Am Ende haben wir uns geeinigt, die Kinder und ich, dass es zwar dieselben Palmenkätzchen waren, die im Geäst schlummerten, aber dass sie nicht gleich wie vorher waren.

„Dieselben und „gleich“ sind in diesem Kontext umgangssprachliche Ausdrücke und sie haben das Kribbeln zum Schluss gebracht. Sie erschienen vertraut genug, um nahezulegen, dass philosophische Rätsel mit sprachlichen Vereinbarungen zu lösen sind. Was sage ich da? Dass philosophische Rätsel mit sprachlichen Vereinbarungen bereits gelöst wurden.

Mit Kindern muss hier die Analyse wohl ihr Ende nehmen. Es bedarf weiterer Reflexion und langer Zeit, um zu erkennen, dass Termini wie „dieselben“ und „gleich“ lange nicht präzisiert sind und deshalb keine wirklich gute Lösung zum Vagheitsproblem des Werdens anbieten. Für Kinder ist es bereits ein gigantischer Sprung, wenn sie zu spüren bekommen, dass die der Haufenparadoxie inhärente Vagheit ein sprachliches Problem darstellt, das mit umgangssprachlichen Vereinbarungen zu lösen ist. Erwachsene können erkennen, dass die Vagheit durch manipulierte Sprache eliminiert werden kann – so etwa: Seit die Weidenkätzchen aufblühen, sind sie da und vorher gab es sie gar nicht. Solcherlei Vereinbarungen – aber das ist Erwachsenenwerk – regeln in verschiedenen Ländern trotz ihres künstlichen Charakters den Eintritt eines Fötus in das Personensein.

Schließlich gibt es wiederum andere Erwachsene, die künstliche Lösungen wie die formale Sprachen für inadäquat halten. Sie fragen sich, ob die Behauptung, dass die formale Sprache die Realität besser abbildet, nicht eine selbstgefällige Eigenwerbung der formalen Sprachen ist. Für solche Erwachsenen und für ihre Kinder macht der oben erwähnte Dialog vielleicht mehr Sinn. Und wohl für Philosophiehistoriker, die die Nase voll damit haben, junge Erwachsene vergeblich dazu animieren zu müssen, halbwegs kreativ zu sein – so nach dem Beispiel der Kinder etwa. Enough with scrolling

Historians of philosophy who are fed up trying to motivate early tweens to read great dead philosophers in a way other than doxography don’t know what a blessing it is to discuss philosophy with, say, 8-to-12-year olds. Not only because kids are much more receptive but also because they have an ahistorical reading of the big issues of philosophical tradition.

A parenthesis here: „Plato & Co“ is a successful series just because of its ahistorical view on the big heroes. I confess that a bit more anachronisms would be more like it, at least for my taste but this is my taste, not everyone’s, and unlike most other people I have the opportunity to satisfy my taste otherwise. That is by finding authors for the new series of fictitious dialogues I’m launching with Philosophia Publishers: Ockham meets Arthur Prior, Aquinas meets Wittgenstein… But this is off-subject and not for kids and therefore off-subject for one more reason.

Last Thursday this class was singing a song on catkin. In fact, the song was meant to be a dialogue between a group of kids and catkin. „Where have you been before you blossomed?“ ask the kids for catkin to answer: „In the bough but we weren’t ourselves yet“.

I interrupted the song:

  • Wait a moment. Why, since when does catkin exist?
  • Since it blossomed.
  • And before that?
  • It was in the bough.
  • But what it says is that it wasn’t itself!
  • It was but not fully.
  • OK. Since when does it exist then?
  • Since it’s been in the bough. But it wasn’t the same back then.

We agreed, finally, that catkin has been „itself“ but not „the same“. Obviously, these are colloquial expressions and this is, probably, the reason kids feel that they solved the philosophical riddle. Their approach is quite good: linguistic convention solves problems of language. Or, rather, it has already solved them.

This is the point where the analysis has to be terminated when you’re philosophizing with minors. It’s grownups who come to realise – ideally, that is – that „themselves“ and „the same“ are not precise and, therefore, they cannot eliminate the inherent vagueness of terms like „coming to be“. If for children it’s a gigantic progress to perceive vagueness and the heap paradox as linguistic problems with a solution in colloquial language, adults must be in the position to recognise that not colloquial speech but rather a formal language that re-forms natural language solves the problem. This language can set soritic victims free. You can, for example, define artificially since when a fetus is considered to be a person – within a minute’s or a second’s accuracy. Of course, this is silly, but it solves juridical problems concerning abortion.

However, there are other adults who question every aspect of formal language. These ask: who says that formal language offers a better mapping of reality? Another language? Maybe formal language itself? This posting has been written for them. And for their children. And for historians of philosophy who have no nerves anymore to motivate young adults to be as creative as kids are.

If Meno’s slave had been a girl

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Als Einziges setzt Sokrates in Platons Menon 82b4 voraus, der pais, den ihm sein Gastgeber präsentieren soll, solle Griechisch können. Pais ist Griechisch für „Junge“ und „Mädchen“. Erst ein Artikel oder der Kontext machen die Bezeichnung geschlechtsspezifisch. Mit einer kleinen Änderung hätten wir also im Originaltext statt eines Jungen ein Mädchen. Statt eines jungen Sklaven wäre es eine junge Sklavin, mit deren Hilfe Sokrates demonstriert hätte, dass das Verständnis der Mathematik kein Lernen voraussetzt, sondern lediglich einfällt.

Sokrates‘ Argument wäre durch diese Änderung nicht beeinträchtigt.

Das waren meine Gedanken gestern, nachdem ich in einer Buchhandlung zwei Übungsbücher für Mathematik gesehen hatte: Textaufgaben für Jungs und Textaufgaben für Mädchen.

Beim Durchblättern der Bücher ist mir aufgefallen, dass das Buch für die Jungs mehr Textaufgaben mit Geld und Autos enthielt, das Buch für die Mädchen mehr Textaufgaben mit Ponys. Hier handelt es sich um naive Alltagspsychologie, die vom Verlag gekonnt für die Produktdiversifikation angewandt wird.

Aber welcher Verlust auf einer epistemologischen Metaebene bei den Eltern, die auf den Gedanken kommen könnten, die Mathematik, eine Grundkapazität also, zu der alle Menschen ungeteilt Zugang haben, wäre so beschaffen, dass sie Mädchen anders mitgeteilt werden sollte als Jungen.

Und welcher Horror für das Geschlechterverständnis dieser Menschen…

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Socrates‘ only demand towards Menon in Plato’s homonymous dialogue 82b4 is that the pais should speak Greek. Pais was the Greek word for „boy“ and „girl“, the disambiguation being given in the article or in the context. With a minimal alteration of the original text, Socrates would have shown with the help of a girl slave instead of a boy slave that mathematics requires reminiscence rather than learning.

The argument would be essentially the same.

These were my thoughts yesterday after I stumbled across these two books with mathematical problems in text form: Problems for Boys and Problems for Girls.

Browsing through them I noticed that the book for boys contained mostly problems with cars and money, the book for girls contained problems with ponies. What we have here is folk psychology which the publisher uses in order to diversify the product line.

But what a loss on an epistemological metalevel for those parents who come to think that mathematics, a basic capacity to which all rational beings have the same access, would require a different didactic approach depending on whether boys or girls are the audience.

And what a horror if you think of the views of such people on gender…

Die da – die da – die da – Didaktik…

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Die didaktische Darstellung des Lehrstoffs der Logik macht viel aus. Eine der großen Schwierigkeiten der Studierenden der Philosophie in der einführenden Logik-Lehrveranstaltung besteht darin, ein intuitives Verständnis für den Unterschied zwischen freien und unfreien Variablen zu entwickeln. Die gewöhnliche informelle Interpretation des Existenzquantors: „Es gibt mindestens ein x“ ist nicht dazu behilflich, zwischen unfreiem und freiem Vorkommen des x zu unterscheiden, da letzteres oft informell als „ein x“ angedeutet wird – auf sehr ähnliche Weise also.

Ich finde, dass englischsprachige Studierende der Philosophie im ersten Semester bereits von ihrer Muttersprache eine erhebliche Hilfe erhalten, wenn sie ∃xFx informell als „Some x is F“ formulieren, Fx dagegen als „Any x would be F“. Logiker würden im Sinne der Logikdidaktik ihren Studenten etwas Gutes tun, wenn sie in Anlehnung an das Englische ein unfreies x informell „Manch ein Individuum“, ein freies x dagegen „Ein beliebiges Individuum“ nennen würden.

Dass Lehrende sich mehr Gedanken über Didaktik machen, ist wohl zu erwarten, nachdem die Studentenevaluationen einen nicht unwichtigen Bestandteil von immer mehr Berufungsverfahren und Vergaben von Lehraufträgen ausmachen.

Freie und unfreie VariablenI envy those who started studying logic in English. The English language helps develop an intuitive grasp of the difference between unfree and free variables without first having to explore many formal contexts to get familiar with the notions. „Some x is F“ is a very useful semiformal expression for ∃xFx and „Any x would be F“ a no less useful for Fx.

Of course, also in other languages, one can get inspiration from these English expressions and offer – I confess somehow artificial – expressions for the semiformal logic jargon. This is a task which could result to a logic didactics.

I expect didactics to become more and more important in German universities after more and more departments ask those who candidate for a job to submit students‘ evaluations for the courses they have been teaching.

Deep truths: Is the real McCoy a true Scotsman? And how many Elvis fans can be wrong?

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Mit gültigen Argumenten erhöhen sich die Chancen, den Zuhörer zu gewinnen. Und da die Gültigkeit eines Arguments an der Befolgung formaler Regeln erkennbar ist, sind formale Regeln wichtig für die Überzeugungsarbeit. Wenn ich fünfzig Millionen Leser gehabt hätte, dann wäre ich ein erfolgreicher Blogger gewesen. Aber daraus folgt nicht, dass ich kein erfolgreicher Blogger bin, wenn ich keine fünfzig Millionen Leser habe. Es ist ein formaler Fehler, aus einer wahren Implikation diejenige Implikation abzuleiten, in der Antecedens und Consequens der ursprünglichen Implikation verneint sind. Formale Fehler rächen sich durch falsche Schlussfolgerungen. Ich kann mit viel weniger Lesern als fünfzig Millionen ein sehr erfolgreicher Blogger sein.

Wenn die formalen Voraussetzungen der Überzeugungsarbeit seit der aristotelischen Syllogistik begründet sind, gilt für die nicht minder wichtigen, informellen Voraussetzungen der Überzeugungsarbeit nicht dasselbe.

Die Bestätigung mit Bezug auf Autoritäten klingt oft wenig überzeugend: Fünfzig Millionen Leser machen einen zu einem erfolgreichen Blogger, aber sein Blog ist dadurch kein Bisschen besser. Ad hoc-Annahmen gelten als gemogelt. Ich darf keine unbestätigte Annahme einführen, nur um meine These gegen Kritik zu untermauern. Unterschwellig vorauszusetzen, was ich beweisen will, ist ebenfalls eine Mogeltaktik beim Argumentieren. Und ganz sicher ist es faul, meine Behauptung, kein Schotte würde Bourbon trinken, gegen ein Gegenbeispiel („Angus McCoy trinkt Bourbon“) mit dem Gegenargument zu verteidigen, kein echter Schotte würde Bourbon trinken. McCoy wäre somit kein echter Schotte. Aber Gegenbeispiele darf man nicht durch eine Umdefinition diskreditieren.

Wissen, dass etwas gemogelt ist, ist eine Sache; begründen eine andere. Da es für unsere Ablehnung gegen confirmationes ad auctoritates, ad hoc-Argumente, petitio-Argumente, „kein echter Schotte“-Argumente keine formale Begründung gibt, kann es sein, dass solche Spielzüge andernorts nicht als Mogelspielzüge gelten. Man kann, meine ich, mit gutem Recht meinen, dass die informelle Logik im Gegensatz zur formalen Logik kulturell oder subkulturell bedingt ist.

Es gab diese Lehrerin, die mich für ein Projekt gewinnen wollte: nach antiken Rezepten kochen und zwar mit dem Urtext. Es klingt zwar interessant, aber mir schwebt etwas anderes vor: eine Lehreinheit Elvis. Musik-, Englisch- und Ethiklehrer gehen gemeinsam in die zehnte Klasse und erklären schräge Noten, schräge Sprache und schräge Logik. Alle drei schätze ich viel mehr, als meine Leser denken. Ob die Lehrer mitspielen, ist eine andere Frage. Einen Versuch ist’s wert.

Fifty million fans

There was this teacher who wanted to conduct a project with me: cooking with her students using recipes from the classical antiquity in the original languages. I didn’t say no but I don’t think that it’s the real McCoy. I have a counter-proposal: an English teacher, a music teacher and a philosophy teacher introduce 10-graders into cool sounding language, strangely sounding accords and unsound reasoning all inclusive with Elvis.

Sound reasoning is what we normally want to perform in order to persuade. Since validity, an important constraint of soundness, is dependent on formal rules, following formal rules increases your persuasiveness; formal rules like the following: If I had fifty million readers I would be a successful blogger. But this does not imply that I’m not a successful blogger if I don’t have fifty milliion readers. From an implication you cannot deduce another implication by just negating the antecedent and the consequent of the original implication. Formal mistakes revenge with errors: I can be a successful blogger with much less readers than fifty millions.

Formal logic is founded since Aristotle’s syllogistic. But informal logic is not. The moves which informal logic suggests are not formally justified.

Appeal to authority is eventually an incorrect move: Fifty million readers make you a successful blogger but they don’t make your blog better. Ad hoc-arguments based on assumptions  which are introduced without evidence just in order to save the theory are fallacious. Begging the question is cheating. And of course it is a foul to defend your claim that Scots never drink bourbon against a counter-example („Angus McCoy does drink bourbon“) by saying that no true Scotsman would drink bourbon. This move redefines Scotsmen as people who don’t drink bourbon in order to discredit McCoy’s counter-example.

But since appeal to authority, ad hocness, begging the question and no-true-Scotsman arguments cannot be formally refuted, it’s possible that there are cultures and subcultures in which they are not regarded as fallacies. Elvis fans could be one of the subcultures in question. Normally, we don’t speak of „cultures“ in this context – rather of „communicative ethos“. I’m wondering why…

Reine Anschauung: Kant für Kinder

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Es gibt eine Schnittstelle zwischen Kants Erkenntnistheorie und Mathematikdidaktik – dessen bin ich mir sicher! Ich kann sie auch ganz schnell erläutern, nachdem ich nunmehr nach der Einschulung auch unserer Jüngeren letzten September beide Kinder, die wohlgemerkt mit unterschiedlichen Ansätzen lernen, für einige Zeit in ihren Fortschritten beobachtet habe.

Die eine zieht beim Rechnen gelegentlich Anschauungshilfen dem Kopfrechnen vor. Sie nimmt dazu nicht mehr gegenständlich ihre Finger. Eher stellt sie sich vor, sie hätte ihre Finger gespreizt und nachgezählt.

Die andere musste sehr früh ohne Anschauungshilfen auskommen lernen.

Nun habe ich zwar keine Experimente durchgeführt, aber die freie Beobachtung der Kinder führt mich zu folgenden Betrachtungen: Kopfrechnen stellt vordergründig  sprachliches und kein rein mathematisches Können dar. Aber Rechnen mit Anschauungsmitteln ist – wenngleich „primitiver“ – Ausdruck rein mathematischen Könnens. Mathematik basiert auf Anschauung, meinte Kant.

Beim Kopfrechnen kommen sprachliche Regeln zur Anwendung – z.B. die Regel: „Immer wenn ich vier oder vierund-x-zig zu fünf oder fünfund-x-zig addiere, bekomme ich neun oder neunund-x-zig“. Die Neun wird damit als ein anderer Name für vier plus fünf behandelt. Dann gibt es die Zig-Regel: Zwanzig plus zwanzig ist wie zwei plus zwei mit der Endung „-zig“. Die Kinder wissen natürlich, dass diese deutsche Regel mit der griechischen Regel äquivalent ist: Eikosi plus eikosi ist wie dyo plus dyo mit der Endung „-anta“. Zwar ist das linguistisch gesehen eine Regel, die das Unwort „tesseranta“ ableiten lässt, aber die Brücke zum neugriechischen „saranta“ für vierzig schlagen die Kinder sofort. Das nur am Rande, denn es geht mir beim Vergleich beider Sprachen um etwas anderes: Die Kinder tendieren generell dazu, auf die deutsch formulierte Frage: „Wieviel ist zwanzig plus zwanzig?“ die Antwort „vierzig“  zu geben. Auf die damit gleichbedeutende neugriechische Frage aber: „Poso kanei eikosi kai eikosi?“ geben sie die Antwort „saranta“. Sie bleiben der Sprache treu, in der die Frage formuliert wurde.

Nicht so allerdings unter Verwendung von Anschauungshilfen! Haben sie auf einmal Probleme damit, spontan 18+13 zu errechnen, und greifen sie auf Anschauungshilfen zurück, dann muss ich eine Antwort in der in unserer Familie und Umgebung dominanten Sprache erwarten, d.h. auf Deutsch, selbst wenn der Diskussionskontext neugriechisch war. Der Umstand, dass ein Kind das „primitive“, „Kantische“ Rechnen mit Anschauungshilfen eventuell nicht mit Bezug auf die gerade gesprochene Einzelsprache durchführt, sondern in einer anderen, dient mir als Indiz dafür, dass dieses Rechnen nicht sprachlich „kodifiziert“ ist.

Im Zweifelsfall über die Effektivität der sprachlichen Rechenregeln ist diejenige Tochter schneller, die das „primitive“, „Kantische“ Rechnen nicht verlernt hat. Die andere muss sich lange mit ihren Sprachregeln für Rechnen abmühen.

Erstellt irgendein italienischer Kellner in der Pizzeria die Rechnung auf Deutsch statt auf Italienisch? Wenn ja, dann muss er ein Kantianer sein – und wahrscheinlich mit dem Abakus rechnen.

Neumuenster_Gymnasium_Immanuel-Kant-Schule

Kantian theory of knowledge and the didactics of mathematics converge at some point. I’m certain about this after I observed since last September both of my children instead of until then only one in their progress in maths. I have to add that they visit different schools with different approaches in the subject.

I have one daughter who takes assistance from her intuition. She doesn’t use her fingers for this anymore. She just imagines she would use her fingers – which is clever, I think, although primitive on a methodological level.

My other daughter had to learn very early to do her math without any assistance from intuition.

Without experiments, just by observing, I realized that mental arithmetic is a linguistic, not a purely mathematical competence. But arithmetic with intuitive tools is – although more „primitive“ – an expression of mathematical thinking. Kant said that mathematics is based on intuition.

In mental arithmetic the rules are linguistic. Take the rule: „Whenever I add four or x-ty four to five or x-ty five then the result is nine or x-ty nine“. Nine is in this case another name for four plus five. Take one more rule: „Twenty plus twenty is like two plus two with the ending -ty“. My children know of course that this English rule is equivalent with the Greek rule:  Eikosi plus eikosi is like dyo plus dyo with the ending „-anta“. Linguistically, what you get out of this, is the monster word „tesseranta“ but this is not a big problem. The children think of the monster word and pronounce the correct modern Greek term for fourty: „saranta“. This is here not the issue anyway. The issue is that I realized that my children tend to stay faithful to the language in which questions are asked. If you ask them „How much is twenty plus twenty?“ they’ll reply: „fourty“. But if you ask them the equivalent Greek question: „Poso kanei eikosi kai eikosi?“ they’ll reply: „saranta“.

I’m not ready yet – there is something remarkable coming: If you ask my children to calculate 18 + 13 and allow them to take assistance from intuition – say, their pencils – then they’ll reply in the dominant language of our social environment, i.e. German, even if you formulate your question in English or Modern Greek. I take this as an indication that the more „primitive“, „Kantian“ calculation with assistance from intuition is not linguistically „codified“. My daughter who didn’t forget the „primitive“ „Kantian“ calculation is very quick in recognizing that she has to count and not to apply linguistic rules while the other considers her mental rules for calculation for some more time.

No Italian Pizzeria waiter calculates in English when he writes down the bill. They always do so in Italian and apply the linguistic rules for mental arithmetic which they learned when they were children. If you meet an Italian waiter who calculates in English, you’ll be justified to call him a Kantian and to ask him where he hides his abacus.

Logik für die Schule

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Wenn wir die Einführung in die Logik an den Instituten für Philosophie nicht auf die symbolische Logik eingeschränkt hätten, dann hätte der eine oder andere Lehramtsstudent Elemente der Syllogistik oder der Argumentationstheorie später in den Philosophie- oder in den Deutschunterricht einbauen können.

Was wir jetzt produzieren, das sind ein paar mathematisch begabte Masterstudenten und viele Logik-Analphabeten.

Das tut weh.

ENOUGH WITH SCROLLING

If we hadn’t restricted logic to symbolic logic at the philosophy departments all over Germany, then those without academic ambitions would have enough training in logic in order to teach critical thinking at school.

The way things are we produce a couple of mathematically informed philosophers and an army of school teachers who hate logic.

And this hurts.