Kantruktivismus und Platontologie

SCROLL FOR ENGLISH

Das Verhältnis zwischen Definition und Konstruktion eines Begriffs beschäftigt jeden braven Kantianer geschweige denn einen wie mich, der ich ja über die Konstruktion von Begriffen promoviert habe. Klassische mathematische Konstruktionen haben mit Definitionen oft nichts zu tun. Ein Kreis, der doppelt so groß ist wie ein gegebener Kreis, wird als der Kreis definiert, der zweimal den Umfang des gegebenen Kreises hat. Klassisch, euklidisch wird er als äußerer Tangentialkreis konstruiert mit einem Durchmesser, der zweimal größer als der des gegebenen Kreises ist. Zwar sind Kreise, die doppelt so groß sind wie andere Kreise, nicht immer äußere Tangentialkreise derselben, aber anders ist die Konstruktion nicht praktisch machbar.

Euklid versuchte zwar, mathematische Gegenstände nach ihrem Wesen zu definieren. Klassische Konstruktionen waren allerdings Kompromisse, die nicht aus der idealen Definition gewonnen wurden.

Kant dagegen hat verlangt, dass die Konstruktion direkt in der Definition mitgeliefert wird. Damit machte Kant die zeitliche Reihenfolge der Konstruktionsschritte zu einem Teil der Definition des Terminus für diesen Gegenstand.

Konstuktivisten haben von Kant ausgehend unser Mathematikverständnis revolutionieren wollen, indem sie die Mathematik aus dem platonischen Himmel herunterholten und den Menschen und seine Zeitanschauung in die Mathematik hineinversetzten. Dass Kant und die Erlanger Konstruktivisten ideologisch gesehen Gegner des Konservatismus waren, überrascht mich unter diesem Aspekt nicht.

Zusammenhängen zwischen Logik und Ideologie stehe ich eher skeptisch gegenüber. Und – Gott weiß – die Politikwissenschaft ist nicht mein Bier. Aber Renate Martinsens gerade erschienenes Buch, über das ich zufällig stolperte, verspricht, eine Ausnahme zu bilden, indem es die Brücke zwischen ideologischer und mathematischer Radikalität des Konstruktivismus schlägt.

Wie so oft zu Themen des Mathematikverständnisses habe ich auch hier eine Bemerkung zu machen, die sich auf meine Kinder bezieht: Kinder tendieren beim Konstruieren dazu, der euklidischen, essentialistischen Definition zu folgen. Sie verdoppeln einen Flächeninhalt oder zeichnen eine Tangente nach Augenmaß und nicht nach dem klassischen Verfahren mit Zirkel und Lineal, auch nachdem sie dieses kennengelernt haben. Keine Überraschungen hier: In ihrem Mathematik-Verständnis sind Kinder eher platonische Theologen: sie haben das Wesen der mathematischen Objekte im Visier, nicht die Tricks. Daran leiden allerdings ihre Versuche, exakte mathematische Objekte zu konstruieren.

Würde es Kindern helfen, die mathematischen Objekte stets mit Hilfe von Definitionen nach konstruktivistischer Manier kennenzulernen? Mit Hilfe von mathematischen Definitionen also, aus denen die mathematische Konstruktion direkt hervorgeht? Ich halte das für ausgeschlossen. Euklidische, essentialistische Definitionen entsprechen Grundintuitionen, dem Ausgangspunkt des Lernenden.

Radii

Good old Kantians find the relation between definitions and constructions interesting, let alone Kantians like me who spent a valuable part of their lives trying to understand Kant’s theory of the construction of concepts. Since antiquity, definitions and constructions had often no visible affinity. A classical construction of a circle with the double size of a given circle would be to draw an outer tangential circle of the given circle, one which has the double diameter of the given circle. NB, circles which are double the size of a given circle are not necessarily outer tangential circles thereof.

Euclid attempted to define mathematical objects according to their essence, but the classical constructions are the products of compromise between human capacities and Platonic essences.

Kant wanted to change this. He demanded definitions from which the instructions to construct the object which corresponds to the definiens would directly follow. By this, the temporal order with which you construct an object should belong to the definition of the concept which denotes it. This was a revolution.

Constructivists after Kant attempted to revolutionize our understanding of mathematics by adjusting it to human beings and to temporality. Ideologically, Kant and the Erlanger constructivists were liberals – which doesn’t come as a surprise.

I’m rather sceptical towards arguments which point at some correlation between logic and ideology. Renate Martinsen’s recently released book which I came across the other day, however, promises to form an exception and to bring together the ideological and the mathematical radicalism of constructivism.

Obviously, when logic and constructivism and ideology are mixed together, our understanding of mathematics is at stake. And for some years now, when I think about our understanding of mathematics, I cannot help myself thinking of my kids. They have been real teachers to me in this respect. Children tend to follow the essentialist definition of a concept when they try to construct the corresponding object. They would double an area or draw a tangent by eye – and against your instructions – and ignore at first the classical construction by means of a rule and a compass. No surprise here too: kids are Platonic theologians; they keep an eye on the mathematical essences and ignore the manipulations which our own restrictions dictate.

Would it be helpful if kids were made to learn mathematics using definitions formulated in the constructivist manner? Definitions, that is, which entail instructions to construct the mathematical objects in question? Rather not, I think. Essentialist, Platonic definitions correspond to intuitions, their starting point for learning.

Werbeanzeigen

And the winner is…

(Scroll for English)

Pantelis Bassakos, ein Ricoeur-Schüler und ein großer Lehrer für mich in Sachen Argumentationstheorie hat mein Rätsel gelöst und die Antwort auf Facebook geschrieben. Der klassikerverdächtige Logiker, der mengentheoretischen Platonismus zu Ende denkt und ein Buch darüber vorbereitet, ist Ulrich Blau.

Der verwaiste Raum ist die alte philosophische Bibliothek im Hauptgebäude der Münchener Ludwig-Maximilians-Universität.

Blau lässt Platon gegen Kant und Aristoteles antreten und hat gute Chancen, schon wieder etwas Großartiges zu produzieren: Wenn er keine Widerlegung des Intuitionismus (Kant) und des Finitismus (Aristoteles) in der Philosophie der Mathematik liefert, wird er wenigstens die Paradoxien des Platonismus dargelegt haben.

Kurze Zeit nach Blaus Vortrag letzten Freitag saß ich in einem Büro an einem Glühwein nippend und überlegte laut, dass es mein Kantianismus war, der mich schon immer wissen ließ, dass Stegmüller und seine Münchener Platoniker in ihrem Disput gegen die Erlanger Konstruktivisten keine endgültig schlagenden Argumente auf die Waage bringen könnten.

„Pass auf, du sitzt gerade auf Stegmüllers Stuhl“ wies mich Irina zurecht, die als Hausherrin im Büro wusste, wo ihr Mobiliar früher stand.

Rationalismus hin oder her stand ich auf, bevor ich meinen Gedanken zu Ende führte. Mein Gefühl ist, dass Kant und die Kantianer den Punktesieg in der Philosophie der Mathematik erreichen. Aber ich warte auch gerne bis ich Blaus Manuskript in den nächsten Tagen in die Hände bekomme.

Stegmüllers Lehr-Stuhl

This chair threatened to harm me. More or this scary story below.

Pantelis Bassakos, a Ricoeur-disciple and a great teacher in argumentation theory knew the answer to my question and wrote it in facebook. The logician who has the potential of being considered as a classic in the decades to come, draws the last consequences from a Platonism applied in set theory and writes a book on this topic, is Ulrich Blau.

The place is the old philosophical library at the Geschwister-Scholl-Square in Munich.

Blau sees the modern landscape of the philosophy of mathematics as a battlefield on which Platonism has to fight against Kant and Aristotle. I cannot see how Blau’s new book could be unimportant. Either the guy is going to refute intuitionism (Kant) and finitism (Aristotle) in the philosophy of mathematics, or, if he fails, he will have shown which paradoxes Platonism has to invite if one takes Plato too seriously.

Not long after Blau finished his presentation last Friday, I was drinking a hot wine punch in Irina’s office and was thinking loudly that my view concerning the arguments which Stegmüller and his Platonist pupils produced against the Erlangen constructivists was dictated by my deep Kantian beliefs. Stegmüller had no chance against then.

„Be careful, it’s Stegmüller’s armchair you’re sitting on“ said Irina suddenly. She definitely knows where the furniture of her office used to stand.

I’m a very rational person. However I stood up in order to conclude my thought. My impression is that Kant and the Kantians appear to achieve a point victory in the philosophy of mathematics. But this is only an impression. I don’t like high brows and weighty words. Give me some time until I’ve read Blau’s manuscript in the next weeks…

 

Aqua alta

Die Konstruktion konzentrischer Kreise, d.h. solcher mit einem gemeinsamen Mittelpunkt aber verschiedenen Radien, ist klassisch mit Zirkel möglich.

Nachdem es aber tagelang geregnet hat und aus dem Spiel-Amphitheater eine Zisterne wurde, hat Greta eine andere Konstruktionsanleitung lanciert: Stein ins Wasser schmeißen und Kreise entstehen lassen.

Bild

Leider schmiss sie immer mehrere Steine gleichzeitig ins Wasser, so dass die konzentrischen Kreise nie richtig zu erkennen waren.

Obwohl wir heute keinen Erfolg bei der Erklärung des Begriffs der konzentrischen Kreise ernteten, glaube ich an die didaktischen Vorzüge des Erlanger Konstruktivismus. Kindern leuchtet es ein, dass die Mathematik ein kreatives Eingreifen in die Natur ist – so jedenfalls meine bisherige Erfahrung. Es leuchtet ihnen ein, dass die mathematischen Objekte im Sinn von Konstruktionsanleitungen erfunden werden; dass sie nicht entdeckt werden etwa.