Wholes that host holes

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Schneidet man vom abgebildeten Stück Emmentaler eine Scheibe oben ab, bekommt man eine obere Scheibe ohne Loch (dafür eine mit einer „Einbuchtung“) und eine untere mit Loch. Die obere Scheibe ist dann kein Träger eines Lochs, die untere schon.

Diese Bemerkung ist aus folgenden Gründen mereologisch relevant:

1. Das Gedankenexperiment ist auch ohne Messer möglich, d.h. ohne zu schneiden.

2. Man kann sich die „linke“ Lochseite beliebig dünn oder dick vorstellen.

3. Ebenfalls die obere Scheibe.

Bei vielen Alternativen eines Schnitts hat man also die Intuition, dasselbe Loch zu haben, nicht jedoch dasselbe Ganze als Träger des Lochs.

Ist das mit der – von Achille Varzi geprägten – Mainstream-Vorstellung von Löchern konform, die durch ihre Träger definiert werden, da sie selber (angeblich) nicht existieren? Wenn der Träger eines Lochs mehr variiert als das Loch, wäre es nicht der nächste Gedanke, vielmehr die Träger durch die Löcher und den sie umgebenden Raum zu definieren (eventuell auch als großes Loch aufzufassen) als umgekehrt?

Skurril? Wieso ist es nicht skurril, die Zahlentheorie auf die leere Menge zu basieren?

(PS: Bevor ich in ein tiefes Loch falle, weil ich Geburtstag habe, oder – noch schlimmer – Geburtstagsplatitüden schreibe, schreibe ich lieber über etwas, was zwar eine Luxuskunst für Leute ohne Existenzsorgen ist, aber mich stundenlang beschäftigen kann. Das ist ehrlich. Das ist meins. Oder ich mache meine Leser auf die Kunst eines wirklich talentierten Menschen aufmerksam, der denselben Geburtstag hat).

Enough with scrolling

Having the birthday other no-name people have is to Dmitri Shostakovich one of his Cambridge properties. Having the birthday Dmitri Shostakovich has is to me a way to avoid platitudes and resolutions in my blog.

But still, it’s not my way, it’s Shostakovich’s. My way is philosophical analysis of problems people have when they have neither acute needs nor existential concerns.

Take for example mereology, the discipline of this book, and one to which the following thoughts pertain:

If you take a knife and cut a top slice from the Emmental above then you’ll have one upper slice without a hole (with an indentation instead) and a lower slice with a hole. From one whole with a hole you made two wholes, the one with a whole, the other without one. You can make the same thought experiment without a knife. It’s more secure and philosophically as interesting.

Without a knife you can imagine the left side of the hole very thin or thick as well as the top slice. To make a long story short, with many possible cuts you’ll have the intuition of having the same hole but different wholes als hole hosts.

If this intuition is somehow justified, I can’t see why we keep – in line with Achille Varzi – defining holes by their hosts instead of, vice versa, defining hosts by virtue of their holes and the space around – eventually to be also interpreted as a big hole.

Don’t say it’s surreal. The theory of numbers is also based on the empty set and you don’t say it’s surreal.

(Birthdays are difficult days)

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Zur Ontologie des Mangels

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Seit Roberto Casatis und Achille Varzis klassischer Studie „Holes“ gilt es als überkommene Weisheit, dass kein Loch Träger von einem anderen Loch sein kann. Daher ist ein Loch als ein Volumen ohne Materie – jedenfalls ohne ausgewiesenen Stoff –  zu definieren, das teilweise oder komplett von einem materiellen Träger umgeben ist.

Die überkommene Weisheit zieht Probleme nach sich. Stellen wir uns zwei über Kreuz laufende Löcher, etwa in einem Laib Appenzeller vor. Ich nenne sie A und B. Nun ist B etwas enger als A. Es stellt sich die Frage, welcher der Träger des mereologischen Schnitts A^B ist. Ein Teil von A? Das ist gegen die überkommene Weisheit. Gibt es dann kein Segment A^B, sondern ein langes, breites Loch A, das B in zwei nicht zusammenhängende Teile trennt, so dass die Löcher insgesamt drei sein müssen? Mag sein. Aber dann warum sollen wir nicht postulieren, dass A ebenfalls in zwei Teile zerfällt und die Kreuzung immer als eigenes Loch zu betrachten ist? Dass also die Löcher fünf an der Zahl sind? Das würde natürlich die Löcher ohne Notwendigkeit multiplizieren und Ockhamisten wären gut beraten, drei statt fünf Löcher anzunehmen. Jedoch wären sie besser beraten, verbundene Löcher als ein einziges, verwinkeltes Loch zu betrachten. Es sieht jedenfalls aus, als hinge die Entscheidung darüber, wie viele Löcher im Appenzeller sind, nicht von unserer Wilkür ab, wie wenn wir beliebige mereologische Summen aus homogenen materiellen Ganzen bilden, sondern von unseren ontologischen Grundsätzen. Als wären Löcher – anders als andere homogene Ganze – wegen unserer Mereologie nicht beliebig summierbar, obwohl sie homogene Ganze sind. Komisch!

Letzten Samstag wurde mir entgegengehalten, dass diese Rätsel bestehen, weil es keine Löcher gibt: wir erschließen „Löcher“, weil wir sie beleuchten, durchdringen, bohren. Unsere Sprache bezeichnet mit den Konstanten A und B nur, was materiell ist oder von Materie besetzt werden kann.

Das ist ein unmathematischer Ansatz. Aber wer behauptet, dass die halbformelle Verwendung von Konstanten mathematischen Intuitionen genügt? Je mehr ich darüber nachdenke, desto mehr finde ich, dass die Probleme der Ontologie des Mangels im Endeffekt Probleme der unpräzisen Sprache sind. Ehrlich gesagt glaube ich das über viele ontologische Probleme. Keine Sprache durchdringt die Wirklichkeit. Die Sprache steckt bestimmte, bekannte Regionen der Wirklichkeit nur ab und zwar von innen. Die Kritik der reinen Vernunft und der Tractatus lassen grüßen.

Jahrelang denke ich, von jeder Spur Kantianismus und Wittgenstein-Jüngertum befreit zu sein, bis eine Scheibe aus dem Eisbecherdeckel und ein Gespräch mit Familie und Freunden bei Bad Tölz mich zurückwerfen.


Enough with scrolling

Since Roberto Casati’s and Achille Varzi’s influential monograph on the issue, holes are thought to be hosted by no holes but rather by material things. If Casati and Varzi are right, holes are to be defined as immaterial space segments surrounded by material hosts, entirely or partly.

I see problems in this famous account. Take A and B to be two longish holes in a Swiss cheese and to cross somewhere in the cheese. Additionally, assume B to be a bit narrower – its diameter is smaller than this of A. My question is: what is the host of the mereological intersection A^B? Is it A? This can’t be if Casati and Varzi are right. Rather, one must take A to be a hole and B to consist of two holes divided by A – total three. Or you can consider the junction to be an extra hole, at the same time the one end of four others – total five. Ockhamists would say that five is worse because it multiplies unnecessarily the number of entities. Is this to say that three is best?

It isn’t. It is more minimalistic, ergo Ockham-like, to say that interconnected holes are all one. A labyrinth of interconnected holes in your cheese is one hole. I.e. unlike material homogeneous wholes (with a „w“) – and despite their being homogeneous wholes – holes (without the „w“) are of the kind that you can’t add one to another to form an arbitrary mereological sum. Not always! And this is strange!

Last Saturday, I was looking at the world through a hole I found (can I find a hole or do I always find its host?) in an ice-cream cup (no idea what the function of the perforated paper slice at the top of your ice cream is). One question led to another and I found myself explaining nonphilosophers the basics of Casati/Varzi. They were very interested. And they had a solution of the riddles also. There are probably no holes in the world, they told me, and if there are, language doesn’t refer to them. Language refers to non genuine holes: holes you penetrate, holes you illuminate, holes you see and feel, holes that are filled with matter like air, photons or your finger.

This is not a logician’s or a mathematician’s  way to put it but I have to admit that it’s appealing. My semi-formal usage of the constants A and B above doesn’t guarantee mathematical rigour.

In fact, I do believe that most, if not all problems of metaphysics are ones of language and that the riddles concerning holes are of this kind. Language does not map reality. It just delineates some known regions from inside. The idea is reminiscent of Kant and Wittgenstein.

Gosh! I’ve been totally clean of such influences for years and years and they come back during a day in the Alps?

Overlapping holes and shadows

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Der Sommer ist vorbei und mit ihm die schön konturierten Schatten.

Schatten werden von Casati als „Löcher im Licht“ bezeichnet. Dabei unterscheiden sich die Schatten von den Löchern in einem wichtigen Punkt: Es gibt sich überschneidende LÖCHER, deren Schnitt natürlich die Stelle oder Stellen ihrer Überschneidung ist. Wenn aber nur eine Lichtquelle vorhanden ist, können sich die SCHATTEN zweier Gegenstände nicht überschneiden.

Nehmen wir z.B. zwei Personen, einen Erwachsenen und ein Kind, die nebeneinander auf einem Bahnsteig stehen. Wenn die Lichtquelle, der Erwachsene und das Kind IN DIESER ANORDNUNG auf derselben Geraden liegen, so dass das Kind voll im Schatten des Erwachsenen steht, wirft das Kind keinen Schatten.

Wenn das Kind nun einen Arm seitlich ausstrecken würde, dann würde es sich freilich auf dem Gesamtschatten bemerkbar machen, es gäbe allerdings KEINE zwei sich überschneidenden Schatten, etwa des Kindes und des Erwachsenen, dessen Schnitt der Kindesschatten minus den Kindesarmschatten gewesen wäre. Was es gäbe, wäre eine Vereinigung aus Kindesarmschatten und Erwachsenenschatten, denn das sich voll im Schatten des Erwachsenen befindende Kind-minus-Arm wieder keinen Schatten werfen würde.

Das heißt, dass zwei oder mehrere Löcher in einem Gegenstand sich sehr wohl überschneiden können, aber es ist Unsinn, von zwei oder mehreren sich überschneidenden Schatten bei einer Lichtquelle zu sprechen.

Schatten

The summer is gone. And the beautifully contoured shadows went with it.

Casati calls shadows „holes in the light“. I don’t find his terminology fitting. Shadows differ from holes in a very crucial point. There is a possibility for two or more holes to overlap. The overlapping parts of two holes are the cut of the same holes. But there are no overlapping shadows of you have only one light source.

Take for example two persons, an adult and a child, standing beside each other on a platform at the railway station. When the light source, the adult and the child are on the same line and the child is wholly in the shadow of the adult, then the child has no shadow.

When the child, now, raises one arm to her shoulder’s height, of course she makes herself seen in the shadow. But the shadow to be seen, then, is not the shadow of, say, one adult and one child with a cut which would be the child minus her arm. No! What you see then, is the union of the adult’s shadow and the child’s arm’s shadow. The child-minus-her-arm remains in the shadow of the adult.

This shows that, while there are overlapping holes in one thing, it’s nonsense to speak of overlapping shadows as holes in the light, when you have only one light source.

Wholes with holes

Pinakothek der Moderne

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Die Löcher von Ron Arads „TW3 rocking chairs“ sind wichtig für die Stühle – denn das Loch ist mit Sicherheit ein wesentlicher Teil der Entscheidung modern einrichtender Käufer.

Außerdem wäre Emmentaler ohne Löcher nicht zu vermarkten. Nicht jedenfalls unter dem Namen „Emmentaler“. Laut Wikipedia haben die verschiedenen Käsesorten, die weltweit unter diesem Namen produziert werden, nur eines gemeinsam: die Löcher.

Dass aber Geld in die Löcher investiert wird, spricht dafür, dass in den natursprachlichen Begriffen „Ron Arads TW3 rocking chair“ und „Emmentaler“ die Löcher mit inbegriffen sind. Mit anderen Worten sind Löcher – so wenigstens die in der natürlichen Sprache eingebettete Vorstellung – Teile unserer alltäglichen Vorstellungen eines TW3 rocking chair und eines Stücks Emmentaler. Damit vertrete ich eine ketzerische Meinung. Die bekanntesten Autoren auf dem Gebiet (so etwa Achille Varzi, Uwe Meixner und viele andere) vertreten die Mainstream-Meinung, dass die Löcher keine Teile der Sache sind, deren Kontinuität sie Abbruch tun.

Ich will der Mainstream-Ansicht nicht jedes Recht absprechen. Ich glaube, dass in unserem Alltagsbegriff des einzelnen TW3 rocking chair und des einzelnen Stücks Emmentaler die Löcher als Teile des Ganzen vorausgesetzt sind, aber die distributiven Ganzen, die unter die Allgemeinbegriffe Emmentaler und TW3 rocking chair fallen, dürfen aus folgendem einfachen Grund keine Löcher enthalten: Gegenstände, die unter Allgemeinbegriffe fallen, distributive Ganze also, sind homogen: Die Teile des distributiven Ganzen Wasser sind nichts als konkrete Wassermengen und ist etwas keine konkrete Wassermenge, dann ist es kein Teil des distributiven Ganzen Wasser. Die Teile der Menschheit sind nur Menschen und alle Menschen. Während aber die distributiven Ganzen homogen sind in dem Sinn, dass sie keine „fremden“ Zusätze haben, sind individuelle Stühle und gekaufte Käsestücke mit Löchern als ihre Teile eindeutig heterogene Ganze und zwar gerade wegen ihrer Löcher.

Warum das ein Problem ist? Na ja, Allgemeinbegriffe stehen für nichts anderes als für die Summe aller Individuen, die sie instanziieren. Wenn man aber annimmt, die Löcher seien Teile von (heterogenen!) einzelnen TW3 rocking chairs und Emmentaler-Stücken; wenn man ferner wegen der Homogenität der entsprechenden distributiven Ganzen annimmt, dass Löcher dagegen keine Teile der Gesamtheit aller TW3 rocking chair und allen Emmentalers seien, dann haben diese Gesamtheiten einzelne TW3 rocking chairs und Emmentaler-Stücke, die gelocht sind, als Teile, ohne selber aber gelocht zu sein.

Aber selbst dafür gibt es eine Lösung: Die Gesamtheiten sind zwar homogen als distributive Ganze, nicht allerdings in dem Sinn, dass alles, was Teil ihrer Teile ist, Teil der Gesamtheit ist. So ist z.B. Wasser ein distributives Ganzes insofern, als alle Wassermoleküle Wasser sind, aber die Substruktur der Moleküle, Sauerstoff und Wasserstoff, wird nicht in Betracht gezogen. Die Teil-Ganzes-Beziehung ist bei distributiven Ganzen nicht transitiv.

Je mehr ich darüber nachdenke, desto überzeugter bin ich: Einzelne Stücke Emmentaler haben Löcher als Teile; aber die Gesamtheit des Emmentalers hat keine Löcher als Teile.

Käse und Aristoteles

The holes of Ron Arad’s „TW3 rocking chairs“ are important for the chairs. The buyer thought the hole surely a substantial element of the chair which contributed to her decision to buy it.

Emmental cheese forms a similar case: no one would buy a piece of Emmental without holes; at least not by the name Emmental. According to the German Wikipedia the various cheese types which are produced all over the world and tagged Emmental have only one thing in common: the holes.

Obviously, we do invest in holes in the case of some commodities. This shows that our everyday understanding of a TW3 rocking chair and a piece of Emmental takes the holes for granted. The holes are taken to be parts of a TW3 rocking chair and a piece Emmental. Holes as parts of wholes: this is heresy. The most influential authors who have published on this (Achille Varzi, Uwe Meixner and others) have shaped the mainstream view that holes cannot be parts of the wholes which are their hosts.

I don’t mean to refute the maistream view. I think that our ordinary conception of an individual TW3 rocking chair and of a piece Emmental the holes are supposed to be parts of the whole, but the distributive wholes for which the general concepts TW3 rocking chair and Emmental stand, have no holes as their parts for the following reason: the referents of general concepts, NB without exception distributive wholes, are homogeneous: every part of the distributive whole water is a quantity of water and anything which is not a quantity of water is not a part of the distributive whole water. The parts of the whole humanity are only human beings and there is no human being who is not a part of the whole humanity. But whereas distributive wholes are homogeneous inasmuch as they do not contain any „other“ ingredients, individual chairs and pieces of cheese with holes as their parts are heterogeneous – exactly because of their holes!

Now, why is this a problem? Well, general concepts stand for nothing but the sum of all individuals which instantiate them. But if we assume that the holes are parts of (heterogeneous!) individual TW3 rocking chairs and pieces of Emmental, if we further assume that the corresponding distributive wholes TW3 rocking chair and Emmental have no holes as their parts because distributive wholes are homogeneous, then the distributive wholes TW3 rocking chair and Emmental have no holes although they have parts which have holes as their parts (individual TW3 rocking chairs and pieces of Emmental).

I have a solution for this problem: the distributive wholes are homogeneous, however they are not homogeneous in the sense that every part of their parts is a part of themselves. Water is a distributive whole since every water molecule is water, but the deeper structure of the molecules, oxygen and hydrogen, has to be ignored. In distributive wholes, the whole-part relation is not transitive.

The more I think about it, the more I am persuaded: individual pieces of Emmental have holes as their parts. But the distributive whole Emmental has no holes as its parts.