On Oxford. And on Frankfurt. Harry Frankfurt

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Jede Person muss eine Zahl zwischen 0 und 100 wählen. Den Preis bekommt die Person, deren Zahl am nächsten zu den zwei Dritteln der Zahl liegt, die den Mittelwert aller gewählten Zahlen bildet. Welche Zahl wählst du und warum?

So zitiert der Guardian eine der Fragen in einem Aufnahmeinterview für angehende Studenten des Fachbereichs Experimentalpsychologie an der Universität Oxford. Bei aller Bescheidenheit habe ich Jahre meines Lebens damit verbracht, über das Wesen der Rationalität nachzudenken und muss sagen, dass die Frage bestenfalls Schikane und schlimmstenfalls die Frucht von Inkompetenz ist – oder umgekehrt.

Angenommen, dass die Streuung der Werte homogenen ist oder der Gaußschen Normalverteilung entspricht, wird der Mittelwert 50 sein. Da man mit einer Zahl, die ungefähr 2/3 des Mittelwertes beträgt, den Preis gewinnt, ist man dann gut beraten, die Zahl 33 zu wählen, die fast zwei Drittel von Fünfzig beträgt. Immerhin werden die anderen auch rationale Personen sein, die mit diesem Gedankengang die Zahl 33 als eine gute Wahl errechnen. In diesem Fall wird die Zahl 33 und nicht die Zahl 50 der Mittelwert sein. Infolge dessen muss ein rationales Individuum die Zahl 2/3 x 33 = 22 wählen. Aber die anderen werden wahrscheinlich ebenfalls in der Lage sein, solche Gedankengänge zu machen und die Zahl 22 zu wählen. Das würde die Zahl 22 zum neu prognostizierten Mittelwert machen, weshalb ein rationales Individuum die Zahl 15 wählen würde. Gibt es aber etwas, was die anderen davon abhalten könnte, ebenfalls die Zahl 15 zu prognostizieren? Und so weiter und so fort, bis eine Zahl erreicht ist, die fast 0 beträgt..

Ist 0 die richtige Antwort? Ich meine ja – aus der Sicht eines Mathematikers oder Logikers.

Ein angehender Psychologe sollte allerdings eher annehmen, dass die Iterationen vor der Null aufhören.

Wie hätte nun bloß Harry Frankfurt diese Interview-Frage bezeichnet?

Oxford exper psych

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Each person has to choose a number between 0 and 100 and the prize goes to the person whose number is closest to two thirds of the average of all of the numbers chosen. What number will you choose, and why?

The Guardian says that this is one of the questions of an admission interview for the Experimental Psychology Department at Oxford University. As someone who has spent years on thinking about rationality, I have to say that it’s harassment in the best case or a fruit of incompetence in the worst – or vice versa.

If you assume that there is a homogeneous or a Gaussian distribution of the values, the average number will be 50. But then, since you win if you choose a number which is (about) 2/3 of the average number, as a rational individual you have to choose the number 33. However, if you assume that the others are also rational persons, they’ll also choose the number 33. But then, 33 will be the average rather than 50, to make you choose, of course, the number 22 = 33 x 2/3. Nevertheless, the others will be plausible to make themselves the thoughts you make and to chose 22 as well. 22, being your new predicted average, will make you choose the number 15. But – wait! – what could prevent the others choose 15 by the same considerations? And so on until you reach a number close to 0.

Is zero the correct answer? I would say yes – for a mathematician or a logician.

A good psychologist, however, should rather suppose that at some point before the number zero every rational individual who’s not a mathematician or a logician would put an end to the iterations.

This interview question reminds me, of course, of Harry Frankfurt.

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Patristics, statistics and mystics

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Im Anatolien des 4. Jahrhunderts gehörte es zu den Tugenden eines gelehrten Bischofs, die aristotelische Logik und Physik für den Glauben nutzbar zu machen. Ich möchte nur auf zwei Beispiele hinweisen: Gregor von Nazianz beschäftigte sich im 9. Kapitel seiner 29. Rede Über den Sohn mit dem Lügnerparadox sowie mit dem Paradox des Haufens. Sein enger Freund und vormaliger Kommilitone Basileios von Cäsaria beschäftigte sich im 5. Kapitel seiner 1. Rede zum Sechstagewerk ebenfalls mit einem klassischen Philosophenproblem: Seien die Zukunft noch nicht, die Vergangenheit nicht mehr und die Gegenwart flüchtig, gebe es keine Zeit.

Trotzdem haben sich die griechischen Kirchenväter meines Erachtens niemals mit Problemen der Induktion beschäftigt. Höchstens Basileios hat sich mit dem Zufall auseinandergesetzt, als er – so die Legende – vor der unlösbaren Aufgabe stand, nicht genutzte Spenden an die Spender zurückzugeben, weshalb er die gespendeten Wertgegenstände in Brote stecken und an die Spender verteilen ließ. Da es nicht menschenmöglich erschien, für korrektive Gerechtigkeit zu sorgen, musste der Zufall wenigstens Bevorzugung und bewusste Benachteiligung vermeiden lassen.

Nach einer Version der Geschichte bekam jeder Spender genau das Brot mit dem Gegenstand, den er gespendet hatte – durch Wunder, wie es sich versteht, da der Wahrscheinlichkeitgrad = 1/(n·(n-1)·(n-2)·…·2), zu dem jeder aus n Spendern, die n Gegenstände gespendet hatten, zufällig sein eigenes Wertobjekt zurückerhält, bei steigenden Werten für n extrem klein wird. In der Eudemischen Ethik 1247b hatte Aristoteles zwar – irrtümlich! – das Kalkulieren von Chancen ausgeschlossen, aber Basileios’ Episode zeugt von einem natürlichen Verständnis der Wahrscheinlichkeit des Eintreffens eines Ereignisses. Ohne die Einsicht, dass das Wunder des heiligen Basileios statistisch viel unwahrscheinlicher als etwa die christliche Vorstellung ist, dass die Bedürftigen in ihrem Brot etwas Höherwertiges erhalten hätten, wäre es nicht als wundersamer gewertet worden.

An die genannte Episode erinnert der griechische Neujahrsbrauch, einen nach dem Bischof von Cäsaria und Verfasser der orthodoxen monastischen Regeln genannten Kuchen aufzuschneiden – einen Kuchen, in dem eine Münze versteckt ist. Die Pointe dieses Brauchs besteht darin, die glückliche Person zu ermitteln, die die Münze in ihrem Stück findet. Traditionell wird der Brauch am 1. Januar gepflegt, dem Tag des Heiligen. Die heutige Deutung dieses Brauches ist allerdings unklar. Die einen meinen, die einzige Münze im eigenen Stück zu finden, sei per definitionem Glück und wer sein Jahr mit der empirischen Evidenz eines ausgesprochenen Glücks beginne, habe mehr Chancen, dasselbe Jahr mit einem Mehrwert in seiner Glück-Unglück-Rechnung zu beenden.

Andere meinen wiederum, dass der Brauch magisch zu deuten ist. Zwar sagen sie das nicht immer, handeln allerdings entsprechend. Ohne Glauben an die Magie würden z.B. die staatlichen Institutionen in Griechenland keinen Wert darauf legen, den Brauch seit Jahrzehnten “zu ihren Gunsten” zu manipulieren. Die Situation sieht folgendermaßen aus: Das Kuchenstück mit der Münze ist ständig das des Finanzministers, wenn der Kuchen im Finanzministerium angeschnitten wird, es ist aber das Kuchenstück des Parteiführers, wenn der Kuchen in der Parteizentrale angeschnitten wird, und es ist das Kuchenstück, das stellvertretend und symbolisch dem “armen Mann auf der Straße” zugeteilt wird, wenn die Parteizentrale die einer ultralinken Partei ist.

Wer glaubt, dass es das Recht der Führungsperson ist, eine Organisation zu manipulieren, ist möglicherweise – aber nur möglicherweise – ein griechischer Politiker, Rektor, Professor usw. Wer aber glaubt, Manipulationen wären in der Lage, die Gunst der Tyche bzw. die Streuung einer Verteilung zu beeinflussen, ist mit Sicherheit jemand, der an die Magie glaubt..

51918

In 4th-century Anatolia, it belonged to the virtues of a bishop to be able to utilize Aristotle’s logic and physics to support faith. I would like to mention just two examples: in the 9th chapter of his 29th homily De filio, Gregory of Nazianzus discusses two classical paradoxes: the Liar and the Heap. Gregory’s close friend and previously a fellow student of philosophy, Basil of Caesaria discussed in the 5th chapter of his 1st homily on the Hexaemeron also a classical philosophical problem: considering that future is not yet, past not anymore and present fugitive, time seems to be inexistent.

However, Greek fathers, at least as far as I know, never addressed problems concerning induction. To this respect, the nearest hit I can think of is the legend which, in the Eastern Churches, legitimizes Basil’s position as the saint who brings presents on January 1st – the day dedicated to him. He had to return donations which were not used to the donors. However, he saw himself unable to attribute every item to the person who had originally made it available. In other words, bringing about corrective justice seemed impossible a task. In this situation, Basil brought about distributive justice by letting the chance decide who would have to retain which item: he filled the donated goods in bread rolls which he distributed to the donors.

According to a nice version of the story, every donor discovered in the bread exactly the valuable piece which he had originally donated. This was perceived to be a miracle. Obviously, the reason for this perception is that for n donors who donate n items, the probability for each donor to be returned by chance his valuable item = 1/(n·(n-1)·(n-2)·…·2), is getting extremely low the higher the value for n becomes. In the Eudemian Ethics 1247b Aristotle claimed – mistakenly! – that it is impossible to calculate chance. By contrast, Basil’s story shows that the late ancients and the early medievals had a natural understanding of quantitative probability. If they hadn’t had this, then how would they know that the outcome of Basil’s story was much more improbable, consequently much more miraculous, than a version that, say, the ones who were more in need would receive objects which would be more valuable than the ones which they donated – NB, a story which conforms more to Christian morality.

Basil’s story legitimizes historically the Greek custom of the “basilopitta”: a cake with a coin in it, traditionally to be consumed on January 1st. Of course, the clue about the custom is who’ll be the lucky one who’ll find the coin in his or her piece. There are two interpretations of what Basil’s present consists in in this case – the one is logically and philosophically alright but not widespread, the other is widespread but philosophically controversial. There are those who think that it is luck by definition to find the coin. Beginning a year with having luck, raises, of course, my chances that at the end of a year I’ll have been having more luck than unluck.

Others believe in magic: they seem to think that Basil brings you luck if you have the coin in your piece of the cake, and this even if your being the one who has the coin in his piece is due not to chance but to manipulation. When the custom is conducted in a ministry, the minister will have the coin. In a political party it will be the party leader. In leftist parties, it can happen that they attribute one piece symbolically to the poor for the coin to be found exactly there.

Now, if you think that you have to run the state by means of manipulation, you’re only probably a Greek politician, provost, professor etc. But if you think that, in effect, you manage to redistribute frequencies by means of manipulation, you surely believe in magic!

Bayesian probabilities, credibility, and the talking frog

Augsburger Puppenkiste

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Der Vorhang ging auf und die Königin war verzweifelt. Fünf Jahre Ehe ohne Kind. Kein Arzt, kein Rat, der ihr helfen könnte. Bis ihr eines Tages im Bad ein Frosch erschien, der ihr prophezeite, sie würde, bevor ein Jahr vergeht, ein Kind bekommen.

Das Kind kommt zur Welt, zwölf Feen sind eingeladen, die dreizehnte nicht. Mit der Verwünschung der dreizehnten Fee geht der Vorhang wieder zu. Pause.

Frage an die Kinder: Was hättet ihr mehr geglaubt, Kinder, wenn ein Arzt der Königin Dornröschens Geburt vorausgesagt hätte oder so wie es gekommen ist: durch den Frosch? Einhellig waren sie der Meinung, der Frosch war glaubwürdiger als jeder Arzt es je sein könnte. Schließlich ist ein sprechender Frosch etwas dermaßen Außergewöhnliches, dass der Glaube an etwas anderes Außergewöhnliches durch seine Existenz leichter gemacht wird.

Das wollte ich mir angucken. Auf der Fahrt von Augsburg zurück nach München sitzt meine Frau am Steuer und ich nehme Papier und Stift. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Königin bei der Vorgeschichte ein Kind bekommt unter der Bedingung, dass ein Arzt das voraussagt, liegt, sagen wir, bei 10%. Denn:

x = P (Königin bekommt ein Kind, gesetzt dass ein Arzt das voraussagt) = P (Königin bekommt ein Kind & ein Arzt sagt das voraus) / P (Ein Arzt sagt das voraus)

Aber der Zähler ist gleich mit:

P (Ein Arzt sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt, gesetzt dass diese zum Schluss ein Kind bekommt) X P (Die Königin bekommt ein Kind)

Damit ergibt die obere Gleichung für die Werte P (Ein Arzt sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt) = P (Ein Arzt sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt, gesetzt dass diese zum Schluss ein Kind bekommt) = 50% und P (Die Königin bekommt ein Kind) = 10% eben x = 10%.

(Ob die Königin tatsächlich ein Kind bekommt oder nicht, hat offensichtlich mit der Voraussage eines Arztes bezüglich einer Schwangerschaft, die “bevor ein Jahr vergeht”, abgeschlossen sein wird, nichts zu tun. Deshalb der Wert 50%).

Wenden wir uns jetzt dem Fall mit dem Frosch zu:

y = P (Königin bekommt ein Kind, gesetzt dass ein Frosch das voraussagt) = P (Königin bekommt ein Kind & ein Frosch sagt das voraus) / P (Ein Frosch sagt das voraus)

Aber der Zähler ist gleich mit:

P (Ein Frosch sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt, gesetzt dass diese zum Schluss ein Kind bekommt) X P (Die Königin bekommt ein Kind)

Für die Werte P (Ein Frosch sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt) = 0,001%, P (Ein Frosch sagt voraus, dass die Königin ein Kind bekommt, gesetzt dass diese zum Schluss ein Kind bekommt) = 0,01% und P (Die Königin bekommt ein Kind) = 10% bekommen wir y = 100%.

Unter diesem Aspekt hatten die Kinder eine Intuition geäußert, die sich unschwer in einer bayesianischen Wahrscheinlichkeitsrechnung ausdrücken lässt. Man kann natürlich entgegnen, dass die einzelnen Werte, die ich postulierte, der Begründung bedürfen. Nun, ich nehme an, dass sprechende Frösche in Märchen nicht unmöglich sind (deshalb 0,001% statt einer glatten Null), dass sprechende Frösche – anders als Ärzte – ungewöhnliche Wesen sind, die – ebenfalls anders als Ärzte – erscheinen, weil sie stets einen besonderen Platz in der Ökonomie einer Geschichte einnehmen (deshalb 0,01% statt 0,001%). Die Wahrscheinlichkeit für die Schwangerschaft der Königin und die Geburt von Dornröschen bleibt natürlich gleich.

Dass Kinder eine richtige bayesianische Intuition haben, ist natürlich bereits eine wichtige Erkenntnis. Diese Intuition zeigt allerdings, dass die bayesianischen Wahrscheinlichkeiten manchmal prekäre Resultate haben. Nach analogen Überlegungen wäre ein Arzt zuverlässiger, wenn er auf einem fliegenden Teppich im OP-Saal eintrifft.

Es gibt Vorschläge zur Rettung des Bayesianismus als Instrument zur Berechnung der Plausibilität wissenschaftlicher Hypothesen vor Richard Swinburnes Theismus. Ich glaube nicht, dass der Bayesianismus der “Rettung” bedarf. Vielmehr muss die Wissenschaftsphilosophie sich damit abfinden, dass wissenschaftliche Erklärungen manchmal dem alltäglichen Erklärungsbegriff von Kindern nicht entsprechen einschließlich derer, die echte bayesianische Erklärungen darstellen. Das ist schlecht und zwar für den wissenschaftlichen, nicht für den bayesianischen Erklärungsbegriff.

Denn, während wir wissen, was eine Erklärung nach Bayes ist, bleiben wir im Unklaren darüber, was eine wissenschaftliche Erklärung ist. Eine bayesianische ist sie jedenfalls nicht.

ENOUGH WITH SCROLLING

The curtain opened and the queen was desperate. Five years of marriage without a child and no physician or advice there to help her. Until one day in the bath a frog appears to her and prophesizes that before one year passes the queen will give birth to a baby.

The child is born, twelve fairies are invited, the thirteenth is ignored. The curtain closes for the interval after the thirteenth fairy has spoken out her curse.

I ask the children: Would you rather believe a physician who would predict Sleeping Beauty’s birth or is the frog more credible? They were of the unanimous opinion that no physician would be as credible as the frog. A talking frog is something unusual and he makes the happening of other unusual things plausible.

I wanted to see if they were right. My wife drove us home from Augsburg and I took a piece of paper and a pencil while still in the car. The probability of the queen’s giving birth to a child after her prehistory and under the condition that a physician predicted so is, say 10%. My calculations:

x = P (the queen gives birth to a baby under the condition that a physician predicts so) = P (the queen gives birth to a baby & a physician predicts so) / P (a physician predicts so)

But the numerator equals:

P (a physician predicts that the queen will give birth to a baby under the condition that she will give birth to a baby after all) X P (the queen gives birth to a baby)

Assuming the following values: P (a physician predicts that the queen will give birth to a baby) = P (a physician predicts that the queen will give birth to a baby under the condition that she will give birth to a baby after all) = 50% and P (the queen gives birth to a baby) = 10%, we get x = 10%.

(The value 50% for two probabilities is justified if you consider that it is irrelevant for the physician’s prediction whether the queen will give birth a baby after all “before one year passes”).

Let me now turn to the case with the frog:

y = P (the queen gives birth to a baby under the condition that a frog prophesizes so) = P (the queen gives birth to a baby & a frog prophesizes so) / P (a frog prophesizes that the queen will give birth to a baby)

The numerator equals:

P (a frog prophesizes that the queen will bear a baby under the condition that she will have a baby after all) X P (the queen will bear a baby)

Assuming the following values: P (a frog prophesizes that the queen will give birth to a baby) = 0,001%, P (a frog prophesizes that the queen will give birth to a baby under the condition that she will give birth to a baby after all) = 0,01% and P (the queen will give birth to a baby) = 10% , we get y = 100%.

As one sees, the kids expressed an intuition which can be easily formalized in terms of Bayesian probabilities. Of course, you can say that the assumed values have to be justified. Let me make the case for these values also: talking frogs are inhabitants of possible worlds in which fairy tales take place – therefore 0,001% instead of a plain zero. But, unlike physicians, talking frogs are unusual entities which, unlike physicians again, appear to play a special role in the economy of every story in which they appear – therefore 0,01% instead of 0,001%. And, of course, the probability of the queen’s giving birth to Sleeping Beauty remains the same.

Children, it seems, have Bayesian intuitions. And this is already an important piece of knowledge. But this intuition shows that Bayesian probabilities are not immune to strange results. Analogous considerations to the ones made above would show that a surgeon appears to be more capable, reliable or you name it if he arrives to the operating room on a flying carpet.

Richard Swinburne‘s Bayesian theism gives sceptics the idea to save Bayesianism as an instrument of calculation of the plausibility of scientific hyptheses. I don’t believe that Bayesianism needs to be “saved”. It’s rather philosophy of science which has to accept that scientific explanation very often does not do justice to everyday explanations like the ones which children have – including those explanations of children which are genuine Bayesian explanations.

This is too bad for scientific explanation because it means that scientific explanation is not a Bayesian explanation. We remain in the dark as to what a scientific explanation actually is whereas at the same time we know, of course, what a Bayesian explanation is and eo ipso what kind of explanations children would tend to give.

Der Quotient oder die Q-Anbetung

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Viele bayerische Viertklässler sind seit gestern auf ein gespanntes Verhältnis mit ihren Eltern in den nächsten Monaten gefasst. Sie bekamen ihren Zwischenbericht. Werden ihre Leistungen nicht sehr bald viel besser, ist der Gymnasiumsübertritt gefährdet. Die Eltern werden trotz der Appelle fürs Gegenteil Druck auf die Kinder ausüben, viele Kinder werden im Alter von 10 Jahren mit Misserfolg und Minderwertigkeitsgefühlen rechnen müssen.

Der Lehrerverband fordert mehr gemeinsame Zeit für die Kinder vor dem Gymnasium. Die Politik stellt sich aber taub. Sie stützt sich ja auf Expertenmeinungen, die in der Intelligenz ein angeborenes Potential sehen, auf Meinungen von Experten, die für weniger Gymnasiasten plädieren, da das Gymnasium ein Hort für die außerordentliche Intelligenz sein sollte, die mit von ebendenselben Experten entwickelten IQ-Tests messbar wäre.

Bei der Intelligenz gehe es nun mal um formale, kognitive Fähigkeiten im engeren Sinne, um “logisches Denkvermögen, die Fähigkeit zum schlussfolgernden (induktiven) Denken oder die Fähigkeit zur räumlichen Vorstellung”.

So umschreibt und zitiert die SZ des 14. Juni 2013 die Intelligenzauffassung Elsbeth Sterns (ETH Zürich) und Aljoscha Neubauers (Uni Graz) aus ihrem Buch Intelligenz: Große Unterschiede und ihre Folgen. Der SZ-Artikel trägt auch die möchtegern-provokative Überschrift “Es ist die Intelligenz, Dummkopf”.

Ein Buch, das weniger Gymnasiasten fordert, weil vielzuviele Kinder zu dumm wären, dessen Autoren nicht in der Lage sind, zwischen induktiv und deduktiv zu unterscheiden – wie soll man das nennen?

Gelinde ausgedrückt: dumm gelaufen…

Stern

Since yesterday, the school report of many Bavarian students of the fourth class shadows their relationship to their parents. If their marks won’t improve very soon, they won’t be visiting the highschool for which Bavarian students have either to be fit for in the age of 10 or to leave it aside for good. Their parents will put pressure on the kids the appeals for the opposite notwithstanding, many kids won’t manage to get the marks they need and they’ll be plagued with feelings of inferiority for their whole life for something which happened to them when they were 10.

The Teachers’ Union’s demand is that the exams are taken by the students much later – i.e. the teachers are for an elementary school which goes beyond the fourth and the fifth class. The politicians are deaf to this demand. They are backed by experts opinions according to which intelligence is an inborn potential and the number of highschool students, which is in Germany traditionally very low, has to be even lower because, they say, the highschool has to be a seminar for the ones who have the extraordinary intelligence which they calculate by means of IQ-tests.

Intelligence is a set of formal cognitive abilities in the narrow sense. It involves “logical reasoning, the ability of conclusion-drawing (inductive) thinking or the ability of spatial imagination”.

This is how the Munich daily Süddeutsche Zeitung of June 14 2013 defined what these IQ-tests calculate with a quotation from Elsbeth Stern’s (Federal Polytechnic Zurich) and Aljoscha Neubauer’s (University of Graz) book: Intelligence: Big Differences and where they Take us. The newspaper wants to provoke with the title: “It’s the Intelligence, Stupid”.

Stern and Neubauer demand less highschool students. They say that most kids are too stupid for highschool. However, Stern and Neubauer who define what inborn intelligence is, confuse deduction with induction!

I leave it to the reader to decide if this is very intelligent of them…