Um Gott’s Wui’n

 

🇩🇪🇦🇹🇨🇭 Es ist so diskriminierend. Es ist so deprimierend. Um Gottes Willen…
🇬🇧🇺🇸🇨🇦🇮🇪🇳🇿🇦🇺 It’s so discriminating. It’s so degrading and sad. For God’s sake…

Advertisements

On Oxford. And on Frankfurt. Harry Frankfurt

SCROLL FOR ENGLISH

Jede Person muss eine Zahl zwischen 0 und 100 wählen. Den Preis bekommt die Person, deren Zahl am nächsten zu den zwei Dritteln der Zahl liegt, die den Mittelwert aller gewählten Zahlen bildet. Welche Zahl wählst du und warum?

So zitiert der Guardian eine der Fragen in einem Aufnahmeinterview für angehende Studenten des Fachbereichs Experimentalpsychologie an der Universität Oxford. Bei aller Bescheidenheit habe ich Jahre meines Lebens damit verbracht, über das Wesen der Rationalität nachzudenken und muss sagen, dass die Frage bestenfalls Schikane und schlimmstenfalls die Frucht von Inkompetenz ist – oder umgekehrt.

Angenommen, dass die Streuung der Werte homogenen ist oder der Gaußschen Normalverteilung entspricht, wird der Mittelwert 50 sein. Da man mit einer Zahl, die ungefähr 2/3 des Mittelwertes beträgt, den Preis gewinnt, ist man dann gut beraten, die Zahl 33 zu wählen, die fast zwei Drittel von Fünfzig beträgt. Immerhin werden die anderen auch rationale Personen sein, die mit diesem Gedankengang die Zahl 33 als eine gute Wahl errechnen. In diesem Fall wird die Zahl 33 und nicht die Zahl 50 der Mittelwert sein. Infolge dessen muss ein rationales Individuum die Zahl 2/3 x 33 = 22 wählen. Aber die anderen werden wahrscheinlich ebenfalls in der Lage sein, solche Gedankengänge zu machen und die Zahl 22 zu wählen. Das würde die Zahl 22 zum neu prognostizierten Mittelwert machen, weshalb ein rationales Individuum die Zahl 15 wählen würde. Gibt es aber etwas, was die anderen davon abhalten könnte, ebenfalls die Zahl 15 zu prognostizieren? Und so weiter und so fort, bis eine Zahl erreicht ist, die fast 0 beträgt..

Ist 0 die richtige Antwort? Ich meine ja – aus der Sicht eines Mathematikers oder Logikers.

Ein angehender Psychologe sollte allerdings eher annehmen, dass die Iterationen vor der Null aufhören.

Wie hätte nun bloß Harry Frankfurt diese Interview-Frage bezeichnet?

Oxford exper psych

ENOUGH WITH SCROLLING

Each person has to choose a number between 0 and 100 and the prize goes to the person whose number is closest to two thirds of the average of all of the numbers chosen. What number will you choose, and why?

The Guardian says that this is one of the questions of an admission interview for the Experimental Psychology Department at Oxford University. As someone who has spent years on thinking about rationality, I have to say that it’s harassment in the best case or a fruit of incompetence in the worst – or vice versa.

If you assume that there is a homogeneous or a Gaussian distribution of the values, the average number will be 50. But then, since you win if you choose a number which is (about) 2/3 of the average number, as a rational individual you have to choose the number 33. However, if you assume that the others are also rational persons, they’ll also choose the number 33. But then, 33 will be the average rather than 50, to make you choose, of course, the number 22 = 33 x 2/3. Nevertheless, the others will be plausible to make themselves the thoughts you make and to chose 22 as well. 22, being your new predicted average, will make you choose the number 15. But – wait! – what could prevent the others choose 15 by the same considerations? And so on until you reach a number close to 0.

Is zero the correct answer? I would say yes – for a mathematician or a logician.

A good psychologist, however, should rather suppose that at some point before the number zero every rational individual who’s not a mathematician or a logician would put an end to the iterations.

This interview question reminds me, of course, of Harry Frankfurt.

Of zeros and nows

SCROLL FOR ENGLISH

Marta, meine Ältere, fragte mich heute, ob Jesus im Jahr 0 zur Welt kam. Kommt es nun darauf an, zwischen wahr und falsch zu unterscheiden, dann ist „nein“ wohl eine angemessene Antwort. Allerdings sind Fragesteller, Kinder oder Erwachsene, in der Regel nicht daran interessiert, irgendwas Wahres von irgendwas Falschem zu unterscheiden, sondern sie wollen bestimmte Zwecke erfüllen. Antworten, die über diese pragmatische Komponente des Fragestellens hinwegsehen, laufen Gefahr, nutzlos oder zu detailliert zu sein.

„Jesus wurde im Jahr 6 vor unserer Zeitrechnung geboren und es gibt kein Jahr 0“ klingt wiederum angemessen, zieht allerdings eine Vielzahl an weiteren Fragen nach sich. Gut, Kinder können verstehen, dass ein Geschichtsschreiber des Mittelalters sich um 6 Jahre irrte, als er die Geburt Christi datieren wollte.

Aber warum gibt es kein Jahr 0? Nun, eine Antwort könnte sein, dass es zweckmäßig ist, die Weihnachten des Jahres 1 nach Christus genau ein Jahr und nicht zwei Jahre nach Christi Geburt festzulegen. Ebenfalls zweckmäßig erscheint es, wenn der 1. Januar des Jahres 1 vor Christus ein Datum ungefähr ein Jahr und nicht ungefähr zwei Jahre vor Christi Geburt ist. Beides kann nur erzielt werden, wenn es kein Jahr 0 gibt.

Aber wie kann man den Umstand erklären, dass es keinen Tag oder keine Stunde 0 gibt? Nun, einerseits ist so etwas vor dem Hintergrund der Lehre des Aristoteles in der Physik 218 a gut nachvollziehbar: Dort sagt der Philosoph, es gebe eine lange Vergangenheit, ebenfalls eine lange Zukunft, aber die Grenze zwischen Vergangenheit und Zukunft sei ein Jetzt ohne Umfang, ohne Dauer. Wollte das Mittelalter den Anfang unserer Zeitrechnung als ein besonders herausragendes Jetzt auszeichnen, dann sollte dieses Jetzt ohne Umfang sein.

Allerdings hätte jeder Aristoteliker gleichzeitig gewusst, dass Aristoteles oft keine ultimative Doktrin mit absoluter Gültigkeit verkündet. Im Gegenteil machte Aristoteles des Öfteren seine Theoriebildung davon abhängig, welche Zwecke durch die Erkenntnis erfüllt werden. Während die Topik zum Teil für Leser bestimmt ist, die vor einem politischen Gremium argumentieren wollen, stellt sich die Analytik dagegen die Aufgabe, den Leser zur Verteidigung einer Gelehrtenmeinung gegenüber Gelehrten zu befähigen.

Aristoteles‘ Lehre von der Zeit verstehe ich als eine enzyklopädische Präsentation mit folgenden Schwerpunkten: Ein Mathematiker sollte die Zeit als bestehend aus einer sich nach hinten ins Unendliche erstreckenden Vergangenheit und aus einer sich nach vorne ins Unendliche erstreckenden Zukunft verstehen. Aber die Gegenwart sollte er als eine umfanglose Grenze zwischen Vergangenheit und Zukunft verstehen. Nun beschäftigt sich der Mathematiker mit dem potenziell Unendlichen und dem potenziell Infinitesimalen als einem Reich, in dem das Phänomen der Bewegung unbekannt ist – man denke hierbei an Zenons Paradoxien. Anders als der Mathematiker beschäftigt sich der Physiker ausschließlich mit der Bewegung: mit einer endlichen Vergangenheit, einer endlichen Zukunft und einem Bereich, eher einer Pufferzone als einer Grenze zwischen ihnen ähnlich, der konventionell „jetzt“ genannt wird.

Gerade diese allerletzte Vorstellung war sehr beliebt im Mittelalter – erwartungsgemäß, wenn man an den Glauben an Schöpfung und Jüngsten Tag denkt. Vor dem Hintergrund dieser Vorstellung hätten die mittelalterlichen Historiker durchaus eine Zeit null postulieren können. Ich kann mir aber auch vorstellen, dass es verwirrend für sie war, Aristoteles einerseits als die größte Autorität anzuerkennen, ihn andererseits als jemanden kennenzulernen, der die Fragen „Was weiß ich?“ und „Welchen Zweck will ich damit erfüllen?“ als zusammenhängend betrachtete.

Es bleibt bis dato irreführend! Stewart Shapiro, Geoffrey Hellman und Øystein Linnebo arbeiten über eine Geometrie im Geiste des Stagiriten. Die besagte Geometrie verzichtet auf aktuelle Unendlichkeit und Punkte, aber die Grenzen zwischen angrenzenden Strecken haben keinen Umfang. Das ist – Entschuldigung! – ein Durcheinander. Ein Aristoteliker muss zweierlei raten: Mathematikern muss er nahelegen, Pythagoreer und Platon zu lesen, Physiker muss er dagegen mahnen, alles, was sie in Geometrie über den Begriff Grenze lernten, zu vergessen. Aristotelische Mathematiker sind Platoniker; aristotelische Physiker sind Finitisten.

Während seines Vortrags am 18. Dezember 2014 in München betrachtete Shapiro sein Publikum kritisch und behauptete: „Ich meine, dass unsere Theorie aristotelisch ist, aber es gibt im Publikum keine Aristoteliker!“

Ganz und gar nicht! Aristoteles misfielen ultimative Ergebnisse, die an den Zwecken vorbei formuliert wurden, die diese Ergebnisse erfüllen sollen. Ein Formalist sieht das als Verrat an der Mathematik an. Ich glaube allerdings, dass die Mathematik wie die Pädagogik, die Politik  etc. die mit der Theorie zu erfüllenden Zwecke mit einbeziehen sollte.

Mit dieser Meinung bin ich in der ausgesprochen guten Gesellschaft von Aristoteles und meiner Tochter Marta.

nows

My daughter Marta asked me today if Jesus was born in the year zero. If you’re interested in giving the correct information you just answer „no“. However, children – and people in general – don’t raise questions just in order to get a correct information. They raise questions in order to serve their purposes. If you answer regardless of this pragmatic constraint then the danger is that the answer is either inadequate or too detailed.

„Jesus was born in the year 6 BC and there is no year 0“ sounds adequate – but it invites innumerable questions. Of course, children can understand that some medieval historian made a mistake when he determined Jesus Christ’s birth 6 years later.

But why isn’t there a year 0? Well, an answer could be that we want the Christmas of the year 1 AD to be one year after Christ’s birth instead of two and we want the 1st of January of the year 1 BC to be roughly one year before Christ’s birth instead of – again – two. This can be achieved only if we don’t have a year zero.

In fact, there is no day zero or hour zero. This doesn’t come as a surprise if you have read Aristotle’s Physics 218a where the philosopher appears to argue that there is an extended past and an extended future, but the present, which he thought to be the limit between the past and the future, has no extension. If the medievals wanted the beginning of our chronology to be a very special „now“, then this „now“ should be without extension.

However, a good Aristotelian knows that Aristotle often gave no ultimate answer as to what we would call today a-state-of-the-art knowledge on a topic. Instead, he often made his answers dependent on the purposes which knowledge serves. Parts of the Topics are written for people who formulate arguments to be presented in political assemblies, but the Analytics are written for people who want to persuade scholars.

I understand Aristotle’s views on time as an encyclopaedic framework stating the following: for a mathematician, time consists of a past which is backward infinite, and of a future which is forward infinite, the limit between past and future being an extensionless now. But mathematics is the realm of the potentially infinite and the potentially infinitesimal. Mathematics does not describe movement – Zeno’s paradoxes being the best witness to this. By contrast, physics describe nothing but movement: a finite past and a finite future and a vague time segment between them – a buffer zone rather than a limit – misleadingly also called „now“.

The medievals were fond of the latter view for reasons which had to do with their bias in favour of creation. In this sense, it’s rather strange that they didn’t postulate a time zero – and an extensive one. I suppose that it was irritating for them to realize that their greatest authority was a liberal who encouraged them to see knowledge as depending on the purposes which one serves with it.

And it’s still irritating! Stewart Shapiro, Geoffrey Hellman and Øystein Linnebo work on a geometry which is supposed to be Aristotelian in spirit. It has no actual infinity, no points, but it has limits between adjacent line segments. To my understanding of Aristotle, this is a hodgepodge. Aristotle would advice two different things: he would advice mathematicians to read the Pythagoreans and Plato, but he would advice physicists to forget about limits. The Aristotelian mathematician is a Platonic; the Aristotelian physicist is a finitist.

Shapiro, in his lecture on December 18, 2014 in Munich looked at the audience and assumed: „I say that my account is Aristotelian but there are no Aristotle people here!“

No, it’s not Aristotelian. Aristotle didn’t launch an ultimate doctrine regardless of the purposes which the doctrine serves. But to state this, is for formalists to stop talking mathematics. For me, however, in mathematics, like in pedagogics, in politics etc. the purposes which the person who raises a question wants to serve must be taken into account.

And for Aristotle too. And for my daughter Marta.

Mapping, classes, functions, icons 78 years after

SCROLL FOR ENGLISH

Gestern vor 78 Jahren wurde der Mathematiker und Theologe Pawel Florenskij nach einem Schauprozess bei Sankt Petersburg hingerichtet. In diesem Semester leite ich ein Seminar zu seinem Werk und in der gestrigen Sitzung ging es um seine Ansichten zur Malerei, insbesondere zu den byzantinischen und altrussischen Ikonen.

Eine Ikone ist für Florenskij eine Abbildung einer erlebten Realität. Bei der Abbildung kommt es nicht auf Realitätstreue an, sondern es kommt einzig und allein darauf an, welche Funktion mit der Abbildung Ausdruck findet. Der Naturalismus ist dabei nur eine von vielen Möglichkeiten.

Das Thema passte zum Gedenktag. Florenskij ist mittlerweile selber eine Ikone geworden.

In der Quellsprache, dem Griechischen, benutzt man allerdings das Wort „Ikone“ niemals metaphorisch, bezogen auf eine Person. Ikonen sind im griechischen (und im altrussischen) Sinn Darstellungen, die niemals mit dem Abgebildeten zusammenfallen.

Schon wieder ist es spät geworden und ich muss die morgige Vorlesung zu Theodor von Studion und seinen sic-et-non Argumenten gegen die Ikonoklasten vorbereiten – so ein Zufall aber…

Deshalb höre ich jetzt mit diesem Beitrag auf und klicke ein anderes Icon an.

orththeol

78 years before yesterday, Pavel Florensky, the Russian mathematician and theologian was executed near Saint Petersburg after a show trial. Yesterday, my Florensky class was dedicated to Florensky’s views on painting, particularly to Byzantine and Old Russian  icons. For Florensky, an icon is a map of a perceived reality. A map is not supposed to be faithful to the original. The mapping is only supposed to represent a certain function. Naturalism is only one of many options.

The topic was very suitable for the anniversary. Florensky himself has become an iconic figure.

In the language, however, from which the word „icon“ originates, i.e. in Greek, „icon“ never refers metaphorically to a person. An icon in the Greek (and the Old Russian) sense of the word is a map which never coincides with the mapped thing.

But now it’s late and I have to prepare tomorrow’s lecture on Theodore Studite’s sic-and-non arguments against the iconoclasts – an unbelievable coincidence. I’m hurrying up to post this and to click on another icon.

If Meno’s slave had been a girl

SCROLL FOR ENGLISH

Als Einziges setzt Sokrates in Platons Menon 82b4 voraus, der pais, den ihm sein Gastgeber präsentieren soll, solle Griechisch können. Pais ist Griechisch für „Junge“ und „Mädchen“. Erst ein Artikel oder der Kontext machen die Bezeichnung geschlechtsspezifisch. Mit einer kleinen Änderung hätten wir also im Originaltext statt eines Jungen ein Mädchen. Statt eines jungen Sklaven wäre es eine junge Sklavin, mit deren Hilfe Sokrates demonstriert hätte, dass das Verständnis der Mathematik kein Lernen voraussetzt, sondern lediglich einfällt.

Sokrates‘ Argument wäre durch diese Änderung nicht beeinträchtigt.

Das waren meine Gedanken gestern, nachdem ich in einer Buchhandlung zwei Übungsbücher für Mathematik gesehen hatte: Textaufgaben für Jungs und Textaufgaben für Mädchen.

Beim Durchblättern der Bücher ist mir aufgefallen, dass das Buch für die Jungs mehr Textaufgaben mit Geld und Autos enthielt, das Buch für die Mädchen mehr Textaufgaben mit Ponys. Hier handelt es sich um naive Alltagspsychologie, die vom Verlag gekonnt für die Produktdiversifikation angewandt wird.

Aber welcher Verlust auf einer epistemologischen Metaebene bei den Eltern, die auf den Gedanken kommen könnten, die Mathematik, eine Grundkapazität also, zu der alle Menschen ungeteilt Zugang haben, wäre so beschaffen, dass sie Mädchen anders mitgeteilt werden sollte als Jungen.

Und welcher Horror für das Geschlechterverständnis dieser Menschen…

g_slave_girl_dancing

Socrates‘ only demand towards Menon in Plato’s homonymous dialogue 82b4 is that the pais should speak Greek. Pais was the Greek word for „boy“ and „girl“, the disambiguation being given in the article or in the context. With a minimal alteration of the original text, Socrates would have shown with the help of a girl slave instead of a boy slave that mathematics requires reminiscence rather than learning.

The argument would be essentially the same.

These were my thoughts yesterday after I stumbled across these two books with mathematical problems in text form: Problems for Boys and Problems for Girls.

Browsing through them I noticed that the book for boys contained mostly problems with cars and money, the book for girls contained problems with ponies. What we have here is folk psychology which the publisher uses in order to diversify the product line.

But what a loss on an epistemological metalevel for those parents who come to think that mathematics, a basic capacity to which all rational beings have the same access, would require a different didactic approach depending on whether boys or girls are the audience.

And what a horror if you think of the views of such people on gender…

Ignorabimus

SCROLL FOR ENGLISH

Der halblateinische Satz stammt von David Hilbert, dem Mathematiker, der Anfang des 20. Jh. die Agenda der Mathematik diktieren wollte:

In der Mathematik gibt es kein Ignorabimus

Will sagen, in der Mathematik gibt es keine Probleme, die ungelöst bleiben werden, obwohl alles vorhandene Hintergrundwissen offen liegt.

Hilbert meinte, dass die Mathematik dem Alltagsgefühl entgegensteht, alles verfügbare Wissen erschlossen zu haben, ohne zu nützlichen Resultaten je kommen zu können. Dass sich aber selbst in der Mathematik ähnlich wie im Alltag verhalten kann, wissen wir seit Gödels Unvollständigkeitssatz: Mathematische Wahrheiten ohne Beweisverfahren gibt es genauso gut wie den Verlust von Socken ohne vernünftige Erklärung über ihren Verbleib. Zwar würde ein Platonist oder ein anachronistischer Hilbert-Revisionist meinen, dass die Mathematik und das Problem der einzelnen Socken nichts miteinander zu tun haben, da das Schicksal der verlorenen Socken nur auf Zufall beruht, während in der Mathematik nichts dem Zufall unterliegt.

Aber dass die unbewiesenen mathematischen Wahrheiten diese und keine anderen sind, ist in einem Sinn auch zufällig. Wenn es in einem Sinn notwendig wäre, dass die-und-die Wahrheiten nicht beweisbar sind, dann ließe sich anhand von anderen Wahrheiten erklären, dass diese zwar Wahrheiten sind, die aber ohne Beweis bleiben müssen. Infolge dessen hätte es somit eine Ableitung dieser Sätze gegeben, was gegen die Annahme ist, dass sie ohne Beweis sind.

Analog dazu gibt es keine Erklärung dafür, warum das Sockenmonster gerade diese Socken fraß.

Hilbert und Socken

The semi-Latin quote is typically associated with David Hilbert’s ambition to set the agenda of mathematics in the early 20th century:

In mathematics there is no ignorabimus

Hilbert trusted that in mathematics there will be no problems bound to remain unsolved after all background knowledge will have been available to us.

Mathematics was for Hilbert a discipline which opposed to the everyday experience of no useful results despite much knowledge. However, since Goedel’s incompleteness theorem we know that there are unproven mathematical truths just like there are unexplainably missing socks. A Platonist or an anachronistic Hilbert revisionist would say, of course, that mathematics and the problem of single socks are different since there is not a fate of a missing sock: socks are missing accidentally. In mathematics there is nothing accidental – at least so they would say.

Notice, however, that the fact that this and this are unproven mathematical truths is also accidental. If it were not, then there would be some mathematical truths which would explain why the unproven mathematical truths are truths but unproven. But this would, of course, be to prove them against the assumption that they are unproven.

Analogously, there is no explanation for the fact that, of all socks, the sock monster ate these-and-these.

Reine Anschauung: Kant für Kinder

SCROLL FOR ENGLISH

Es gibt eine Schnittstelle zwischen Kants Erkenntnistheorie und Mathematikdidaktik – dessen bin ich mir sicher! Ich kann sie auch ganz schnell erläutern, nachdem ich nunmehr nach der Einschulung auch unserer Jüngeren letzten September beide Kinder, die wohlgemerkt mit unterschiedlichen Ansätzen lernen, für einige Zeit in ihren Fortschritten beobachtet habe.

Die eine zieht beim Rechnen gelegentlich Anschauungshilfen dem Kopfrechnen vor. Sie nimmt dazu nicht mehr gegenständlich ihre Finger. Eher stellt sie sich vor, sie hätte ihre Finger gespreizt und nachgezählt.

Die andere musste sehr früh ohne Anschauungshilfen auskommen lernen.

Nun habe ich zwar keine Experimente durchgeführt, aber die freie Beobachtung der Kinder führt mich zu folgenden Betrachtungen: Kopfrechnen stellt vordergründig  sprachliches und kein rein mathematisches Können dar. Aber Rechnen mit Anschauungsmitteln ist – wenngleich „primitiver“ – Ausdruck rein mathematischen Könnens. Mathematik basiert auf Anschauung, meinte Kant.

Beim Kopfrechnen kommen sprachliche Regeln zur Anwendung – z.B. die Regel: „Immer wenn ich vier oder vierund-x-zig zu fünf oder fünfund-x-zig addiere, bekomme ich neun oder neunund-x-zig“. Die Neun wird damit als ein anderer Name für vier plus fünf behandelt. Dann gibt es die Zig-Regel: Zwanzig plus zwanzig ist wie zwei plus zwei mit der Endung „-zig“. Die Kinder wissen natürlich, dass diese deutsche Regel mit der griechischen Regel äquivalent ist: Eikosi plus eikosi ist wie dyo plus dyo mit der Endung „-anta“. Zwar ist das linguistisch gesehen eine Regel, die das Unwort „tesseranta“ ableiten lässt, aber die Brücke zum neugriechischen „saranta“ für vierzig schlagen die Kinder sofort. Das nur am Rande, denn es geht mir beim Vergleich beider Sprachen um etwas anderes: Die Kinder tendieren generell dazu, auf die deutsch formulierte Frage: „Wieviel ist zwanzig plus zwanzig?“ die Antwort „vierzig“  zu geben. Auf die damit gleichbedeutende neugriechische Frage aber: „Poso kanei eikosi kai eikosi?“ geben sie die Antwort „saranta“. Sie bleiben der Sprache treu, in der die Frage formuliert wurde.

Nicht so allerdings unter Verwendung von Anschauungshilfen! Haben sie auf einmal Probleme damit, spontan 18+13 zu errechnen, und greifen sie auf Anschauungshilfen zurück, dann muss ich eine Antwort in der in unserer Familie und Umgebung dominanten Sprache erwarten, d.h. auf Deutsch, selbst wenn der Diskussionskontext neugriechisch war. Der Umstand, dass ein Kind das „primitive“, „Kantische“ Rechnen mit Anschauungshilfen eventuell nicht mit Bezug auf die gerade gesprochene Einzelsprache durchführt, sondern in einer anderen, dient mir als Indiz dafür, dass dieses Rechnen nicht sprachlich „kodifiziert“ ist.

Im Zweifelsfall über die Effektivität der sprachlichen Rechenregeln ist diejenige Tochter schneller, die das „primitive“, „Kantische“ Rechnen nicht verlernt hat. Die andere muss sich lange mit ihren Sprachregeln für Rechnen abmühen.

Erstellt irgendein italienischer Kellner in der Pizzeria die Rechnung auf Deutsch statt auf Italienisch? Wenn ja, dann muss er ein Kantianer sein – und wahrscheinlich mit dem Abakus rechnen.

Neumuenster_Gymnasium_Immanuel-Kant-Schule

Kantian theory of knowledge and the didactics of mathematics converge at some point. I’m certain about this after I observed since last September both of my children instead of until then only one in their progress in maths. I have to add that they visit different schools with different approaches in the subject.

I have one daughter who takes assistance from her intuition. She doesn’t use her fingers for this anymore. She just imagines she would use her fingers – which is clever, I think, although primitive on a methodological level.

My other daughter had to learn very early to do her math without any assistance from intuition.

Without experiments, just by observing, I realized that mental arithmetic is a linguistic, not a purely mathematical competence. But arithmetic with intuitive tools is – although more „primitive“ – an expression of mathematical thinking. Kant said that mathematics is based on intuition.

In mental arithmetic the rules are linguistic. Take the rule: „Whenever I add four or x-ty four to five or x-ty five then the result is nine or x-ty nine“. Nine is in this case another name for four plus five. Take one more rule: „Twenty plus twenty is like two plus two with the ending -ty“. My children know of course that this English rule is equivalent with the Greek rule:  Eikosi plus eikosi is like dyo plus dyo with the ending „-anta“. Linguistically, what you get out of this, is the monster word „tesseranta“ but this is not a big problem. The children think of the monster word and pronounce the correct modern Greek term for fourty: „saranta“. This is here not the issue anyway. The issue is that I realized that my children tend to stay faithful to the language in which questions are asked. If you ask them „How much is twenty plus twenty?“ they’ll reply: „fourty“. But if you ask them the equivalent Greek question: „Poso kanei eikosi kai eikosi?“ they’ll reply: „saranta“.

I’m not ready yet – there is something remarkable coming: If you ask my children to calculate 18 + 13 and allow them to take assistance from intuition – say, their pencils – then they’ll reply in the dominant language of our social environment, i.e. German, even if you formulate your question in English or Modern Greek. I take this as an indication that the more „primitive“, „Kantian“ calculation with assistance from intuition is not linguistically „codified“. My daughter who didn’t forget the „primitive“ „Kantian“ calculation is very quick in recognizing that she has to count and not to apply linguistic rules while the other considers her mental rules for calculation for some more time.

No Italian Pizzeria waiter calculates in English when he writes down the bill. They always do so in Italian and apply the linguistic rules for mental arithmetic which they learned when they were children. If you meet an Italian waiter who calculates in English, you’ll be justified to call him a Kantian and to ask him where he hides his abacus.