Mapping, classes, functions, icons 78 years after

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Gestern vor 78 Jahren wurde der Mathematiker und Theologe Pawel Florenskij nach einem Schauprozess bei Sankt Petersburg hingerichtet. In diesem Semester leite ich ein Seminar zu seinem Werk und in der gestrigen Sitzung ging es um seine Ansichten zur Malerei, insbesondere zu den byzantinischen und altrussischen Ikonen.

Eine Ikone ist für Florenskij eine Abbildung einer erlebten Realität. Bei der Abbildung kommt es nicht auf Realitätstreue an, sondern es kommt einzig und allein darauf an, welche Funktion mit der Abbildung Ausdruck findet. Der Naturalismus ist dabei nur eine von vielen Möglichkeiten.

Das Thema passte zum Gedenktag. Florenskij ist mittlerweile selber eine Ikone geworden.

In der Quellsprache, dem Griechischen, benutzt man allerdings das Wort „Ikone“ niemals metaphorisch, bezogen auf eine Person. Ikonen sind im griechischen (und im altrussischen) Sinn Darstellungen, die niemals mit dem Abgebildeten zusammenfallen.

Schon wieder ist es spät geworden und ich muss die morgige Vorlesung zu Theodor von Studion und seinen sic-et-non Argumenten gegen die Ikonoklasten vorbereiten – so ein Zufall aber…

Deshalb höre ich jetzt mit diesem Beitrag auf und klicke ein anderes Icon an.

orththeol

78 years before yesterday, Pavel Florensky, the Russian mathematician and theologian was executed near Saint Petersburg after a show trial. Yesterday, my Florensky class was dedicated to Florensky’s views on painting, particularly to Byzantine and Old Russian  icons. For Florensky, an icon is a map of a perceived reality. A map is not supposed to be faithful to the original. The mapping is only supposed to represent a certain function. Naturalism is only one of many options.

The topic was very suitable for the anniversary. Florensky himself has become an iconic figure.

In the language, however, from which the word „icon“ originates, i.e. in Greek, „icon“ never refers metaphorically to a person. An icon in the Greek (and the Old Russian) sense of the word is a map which never coincides with the mapped thing.

But now it’s late and I have to prepare tomorrow’s lecture on Theodore Studite’s sic-and-non arguments against the iconoclasts – an unbelievable coincidence. I’m hurrying up to post this and to click on another icon.

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If Meno’s slave had been a girl

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Als Einziges setzt Sokrates in Platons Menon 82b4 voraus, der pais, den ihm sein Gastgeber präsentieren soll, solle Griechisch können. Pais ist Griechisch für „Junge“ und „Mädchen“. Erst ein Artikel oder der Kontext machen die Bezeichnung geschlechtsspezifisch. Mit einer kleinen Änderung hätten wir also im Originaltext statt eines Jungen ein Mädchen. Statt eines jungen Sklaven wäre es eine junge Sklavin, mit deren Hilfe Sokrates demonstriert hätte, dass das Verständnis der Mathematik kein Lernen voraussetzt, sondern lediglich einfällt.

Sokrates‘ Argument wäre durch diese Änderung nicht beeinträchtigt.

Das waren meine Gedanken gestern, nachdem ich in einer Buchhandlung zwei Übungsbücher für Mathematik gesehen hatte: Textaufgaben für Jungs und Textaufgaben für Mädchen.

Beim Durchblättern der Bücher ist mir aufgefallen, dass das Buch für die Jungs mehr Textaufgaben mit Geld und Autos enthielt, das Buch für die Mädchen mehr Textaufgaben mit Ponys. Hier handelt es sich um naive Alltagspsychologie, die vom Verlag gekonnt für die Produktdiversifikation angewandt wird.

Aber welcher Verlust auf einer epistemologischen Metaebene bei den Eltern, die auf den Gedanken kommen könnten, die Mathematik, eine Grundkapazität also, zu der alle Menschen ungeteilt Zugang haben, wäre so beschaffen, dass sie Mädchen anders mitgeteilt werden sollte als Jungen.

Und welcher Horror für das Geschlechterverständnis dieser Menschen…

g_slave_girl_dancing

Socrates‘ only demand towards Menon in Plato’s homonymous dialogue 82b4 is that the pais should speak Greek. Pais was the Greek word for „boy“ and „girl“, the disambiguation being given in the article or in the context. With a minimal alteration of the original text, Socrates would have shown with the help of a girl slave instead of a boy slave that mathematics requires reminiscence rather than learning.

The argument would be essentially the same.

These were my thoughts yesterday after I stumbled across these two books with mathematical problems in text form: Problems for Boys and Problems for Girls.

Browsing through them I noticed that the book for boys contained mostly problems with cars and money, the book for girls contained problems with ponies. What we have here is folk psychology which the publisher uses in order to diversify the product line.

But what a loss on an epistemological metalevel for those parents who come to think that mathematics, a basic capacity to which all rational beings have the same access, would require a different didactic approach depending on whether boys or girls are the audience.

And what a horror if you think of the views of such people on gender…

Ignorabimus

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Der halblateinische Satz stammt von David Hilbert, dem Mathematiker, der Anfang des 20. Jh. die Agenda der Mathematik diktieren wollte:

In der Mathematik gibt es kein Ignorabimus

Will sagen, in der Mathematik gibt es keine Probleme, die ungelöst bleiben werden, obwohl alles vorhandene Hintergrundwissen offen liegt.

Hilbert meinte, dass die Mathematik dem Alltagsgefühl entgegensteht, alles verfügbare Wissen erschlossen zu haben, ohne zu nützlichen Resultaten je kommen zu können. Dass sich aber selbst in der Mathematik ähnlich wie im Alltag verhalten kann, wissen wir seit Gödels Unvollständigkeitssatz: Mathematische Wahrheiten ohne Beweisverfahren gibt es genauso gut wie den Verlust von Socken ohne vernünftige Erklärung über ihren Verbleib. Zwar würde ein Platonist oder ein anachronistischer Hilbert-Revisionist meinen, dass die Mathematik und das Problem der einzelnen Socken nichts miteinander zu tun haben, da das Schicksal der verlorenen Socken nur auf Zufall beruht, während in der Mathematik nichts dem Zufall unterliegt.

Aber dass die unbewiesenen mathematischen Wahrheiten diese und keine anderen sind, ist in einem Sinn auch zufällig. Wenn es in einem Sinn notwendig wäre, dass die-und-die Wahrheiten nicht beweisbar sind, dann ließe sich anhand von anderen Wahrheiten erklären, dass diese zwar Wahrheiten sind, die aber ohne Beweis bleiben müssen. Infolge dessen hätte es somit eine Ableitung dieser Sätze gegeben, was gegen die Annahme ist, dass sie ohne Beweis sind.

Analog dazu gibt es keine Erklärung dafür, warum das Sockenmonster gerade diese Socken fraß.

Hilbert und Socken

The semi-Latin quote is typically associated with David Hilbert’s ambition to set the agenda of mathematics in the early 20th century:

In mathematics there is no ignorabimus

Hilbert trusted that in mathematics there will be no problems bound to remain unsolved after all background knowledge will have been available to us.

Mathematics was for Hilbert a discipline which opposed to the everyday experience of no useful results despite much knowledge. However, since Goedel’s incompleteness theorem we know that there are unproven mathematical truths just like there are unexplainably missing socks. A Platonist or an anachronistic Hilbert revisionist would say, of course, that mathematics and the problem of single socks are different since there is not a fate of a missing sock: socks are missing accidentally. In mathematics there is nothing accidental – at least so they would say.

Notice, however, that the fact that this and this are unproven mathematical truths is also accidental. If it were not, then there would be some mathematical truths which would explain why the unproven mathematical truths are truths but unproven. But this would, of course, be to prove them against the assumption that they are unproven.

Analogously, there is no explanation for the fact that, of all socks, the sock monster ate these-and-these.

Reine Anschauung: Kant für Kinder

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Es gibt eine Schnittstelle zwischen Kants Erkenntnistheorie und Mathematikdidaktik – dessen bin ich mir sicher! Ich kann sie auch ganz schnell erläutern, nachdem ich nunmehr nach der Einschulung auch unserer Jüngeren letzten September beide Kinder, die wohlgemerkt mit unterschiedlichen Ansätzen lernen, für einige Zeit in ihren Fortschritten beobachtet habe.

Die eine zieht beim Rechnen gelegentlich Anschauungshilfen dem Kopfrechnen vor. Sie nimmt dazu nicht mehr gegenständlich ihre Finger. Eher stellt sie sich vor, sie hätte ihre Finger gespreizt und nachgezählt.

Die andere musste sehr früh ohne Anschauungshilfen auskommen lernen.

Nun habe ich zwar keine Experimente durchgeführt, aber die freie Beobachtung der Kinder führt mich zu folgenden Betrachtungen: Kopfrechnen stellt vordergründig  sprachliches und kein rein mathematisches Können dar. Aber Rechnen mit Anschauungsmitteln ist – wenngleich „primitiver“ – Ausdruck rein mathematischen Könnens. Mathematik basiert auf Anschauung, meinte Kant.

Beim Kopfrechnen kommen sprachliche Regeln zur Anwendung – z.B. die Regel: „Immer wenn ich vier oder vierund-x-zig zu fünf oder fünfund-x-zig addiere, bekomme ich neun oder neunund-x-zig“. Die Neun wird damit als ein anderer Name für vier plus fünf behandelt. Dann gibt es die Zig-Regel: Zwanzig plus zwanzig ist wie zwei plus zwei mit der Endung „-zig“. Die Kinder wissen natürlich, dass diese deutsche Regel mit der griechischen Regel äquivalent ist: Eikosi plus eikosi ist wie dyo plus dyo mit der Endung „-anta“. Zwar ist das linguistisch gesehen eine Regel, die das Unwort „tesseranta“ ableiten lässt, aber die Brücke zum neugriechischen „saranta“ für vierzig schlagen die Kinder sofort. Das nur am Rande, denn es geht mir beim Vergleich beider Sprachen um etwas anderes: Die Kinder tendieren generell dazu, auf die deutsch formulierte Frage: „Wieviel ist zwanzig plus zwanzig?“ die Antwort „vierzig“  zu geben. Auf die damit gleichbedeutende neugriechische Frage aber: „Poso kanei eikosi kai eikosi?“ geben sie die Antwort „saranta“. Sie bleiben der Sprache treu, in der die Frage formuliert wurde.

Nicht so allerdings unter Verwendung von Anschauungshilfen! Haben sie auf einmal Probleme damit, spontan 18+13 zu errechnen, und greifen sie auf Anschauungshilfen zurück, dann muss ich eine Antwort in der in unserer Familie und Umgebung dominanten Sprache erwarten, d.h. auf Deutsch, selbst wenn der Diskussionskontext neugriechisch war. Der Umstand, dass ein Kind das „primitive“, „Kantische“ Rechnen mit Anschauungshilfen eventuell nicht mit Bezug auf die gerade gesprochene Einzelsprache durchführt, sondern in einer anderen, dient mir als Indiz dafür, dass dieses Rechnen nicht sprachlich „kodifiziert“ ist.

Im Zweifelsfall über die Effektivität der sprachlichen Rechenregeln ist diejenige Tochter schneller, die das „primitive“, „Kantische“ Rechnen nicht verlernt hat. Die andere muss sich lange mit ihren Sprachregeln für Rechnen abmühen.

Erstellt irgendein italienischer Kellner in der Pizzeria die Rechnung auf Deutsch statt auf Italienisch? Wenn ja, dann muss er ein Kantianer sein – und wahrscheinlich mit dem Abakus rechnen.

Neumuenster_Gymnasium_Immanuel-Kant-Schule

Kantian theory of knowledge and the didactics of mathematics converge at some point. I’m certain about this after I observed since last September both of my children instead of until then only one in their progress in maths. I have to add that they visit different schools with different approaches in the subject.

I have one daughter who takes assistance from her intuition. She doesn’t use her fingers for this anymore. She just imagines she would use her fingers – which is clever, I think, although primitive on a methodological level.

My other daughter had to learn very early to do her math without any assistance from intuition.

Without experiments, just by observing, I realized that mental arithmetic is a linguistic, not a purely mathematical competence. But arithmetic with intuitive tools is – although more „primitive“ – an expression of mathematical thinking. Kant said that mathematics is based on intuition.

In mental arithmetic the rules are linguistic. Take the rule: „Whenever I add four or x-ty four to five or x-ty five then the result is nine or x-ty nine“. Nine is in this case another name for four plus five. Take one more rule: „Twenty plus twenty is like two plus two with the ending -ty“. My children know of course that this English rule is equivalent with the Greek rule:  Eikosi plus eikosi is like dyo plus dyo with the ending „-anta“. Linguistically, what you get out of this, is the monster word „tesseranta“ but this is not a big problem. The children think of the monster word and pronounce the correct modern Greek term for fourty: „saranta“. This is here not the issue anyway. The issue is that I realized that my children tend to stay faithful to the language in which questions are asked. If you ask them „How much is twenty plus twenty?“ they’ll reply: „fourty“. But if you ask them the equivalent Greek question: „Poso kanei eikosi kai eikosi?“ they’ll reply: „saranta“.

I’m not ready yet – there is something remarkable coming: If you ask my children to calculate 18 + 13 and allow them to take assistance from intuition – say, their pencils – then they’ll reply in the dominant language of our social environment, i.e. German, even if you formulate your question in English or Modern Greek. I take this as an indication that the more „primitive“, „Kantian“ calculation with assistance from intuition is not linguistically „codified“. My daughter who didn’t forget the „primitive“ „Kantian“ calculation is very quick in recognizing that she has to count and not to apply linguistic rules while the other considers her mental rules for calculation for some more time.

No Italian Pizzeria waiter calculates in English when he writes down the bill. They always do so in Italian and apply the linguistic rules for mental arithmetic which they learned when they were children. If you meet an Italian waiter who calculates in English, you’ll be justified to call him a Kantian and to ask him where he hides his abacus.

Variables

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Warum nennen wir das „x“ von Gleichungen mit nur einer Lösung eine „Variable“? Weil wir den Wert nicht kennen und dummerweise was anderes einsetzen könnten? Aber dann meinen wir mit „Variable“ etwas Epistemisches.

Ulrich Blau wirft dem Konstruktivismus vor, Epistemik und Semantik durcheinander zu bringen. Ich glaube, dass das stimmt. Aber der Grund ist keine methodologische Unsauberkeit, wie Blau meint, sondern der Grund ist, dass Epistemik und Semantik tatsächlich ineinandergehen.

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Why is „x“ called a „variable“ when the equation has only one solution? Is it because we don’t know the solution und we could calculate something wrong? But then, by calling „x“ a variable we express something epistemic.

Ulrich Blau complains that constructivism fails to consider semantic and epistemic properties separately. This is true. But it’s true only because there’s no clear cut between semantics and belief. Unlike what Blau thinks, constructivism is not „clumsier“ than Platonism in distinguishing.

Ein Ökonom, ein Logiker, ein Mathematiker und ein Rind

Cows

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Ein Ökonom, ein Logiker und ein Mathematiker fahren nach Schottland und dort sehen sie ein schottisches Hochlandrind. Der Ökonom stellt fest: „Guck, die Rinder in Schottland sind braun“. Der Logiker sagt: „Falsch! Es gibt Rinder in Schottland und mindestens eines ist braun“. Der Mathematiker sagt: „Falsch! Es gibt mindestens ein Rind in Schottland und auf der einen Seite schaut’s braun aus“.

Ein gestriges Foto meiner Familie vor einem schottischen Hochlandrind.

Ich glaube wirklich, dass die Ökonomen sehr oft zu groben Vereinfachungen tendieren. Und dass die Mathematiker (manchmal geniale) Eigenbrötler sind.

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An economist, a logician and a mathematician visit Scotland and they see a highland cow. The economist says: „Look, cows in Scotland are brown“. The logician says: „That’s not correct! There are cows in Scotland and at least one of them is brown“. The mathematician says: „That’s inaccurate! There is at least one cow in Scotland whose one side appears to be brown“.

On top of today’s posting is yesterday’s photograph of my family in front of a highland calve.

I really believe that economists tend to gross simplification and that mathematicians are (sometimes ingenious) eccentrics.

Zahlen, Zahlwörter, Numerale

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Mit der Didaktik des Mathematikunterrichts habe ich mich nie ernsthaft beschäftigt. Also habe ich in diesem Sujet mehr zu lernen als zu lehren. Was ich nun von meinen Kindern bisher gelernt habe, ist, dass mathematisches Können sprachliche Kompetenz darstellt.

Der italienische Pizzeria-Kellner, der beim Rechnen stets die Sprache wechselt, ist ein Anzeichen dafür, dass unsere alltägliche Rechenpraxis sprachlich vermittelt ist: „Undici e tredici fa ventiquattro. E sette: Einunddreißig Euro genau macht das“.

Wir rechnen wohl nicht unter Rückgriff auf die Vorstellung der Zahl, sondern auf irgendwann erlernte sprachliche Zeichen, die für Zahlen stehen.

Auch Kinder finden es meines Erachtens leichter, wenn sie einen besonderen Namen für die zu addierenden Dezimalstellen haben. Unsere Große spicht in dieser Hinsicht von „Zigs“ (das sind Zahlen wie zehn, zwanzig, dreißig usw.) und „Zacks“ (eins, zwei, drei usw. bis neun). Das Griechische von „Dekaden“ und „Monaden“ (unsere Tochter kann schon Griechisch, aber sie kennt die Bedeutung dieser beiden Termini nicht und hat sowieso eigene „deutsche“ Wörter dafür erfunden). Es gibt Schulen, in denen den Kindern beigebracht wird, Dezimalstellen farblich zu unterscheiden. Die griechischen Numerale unterscheiden zwischen ihnen grafisch!

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Der von Eltern und Pädagogen oft angesprochene Gemeinplatz: „eher sprachlich oder mathematisch begabt?“ erscheint mir infolge dessen suspekt. Mathematisches Denken und Sprachgewandtheit gehören zusammen.

Am Donnerstag ist der erste Tag unserer Kleinen in der ersten, unserer Großen in der dritten Klasse.

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I never seriously occupied myself with the didactics of mathematics, which means that I have much more to learn than to teach on this subject. In fact, I learned from my children that familiarity with mathematics is akin to a linguistic competence.

Italian waiters who skip from the one language to the other as they write down the bill demonstrate that everyday calculations are not based on the representation of number but rather on linguistic signs which stand for numbers and are learned by heart : „Undici e tredici fa ventiquattro. E sette: that would be thirty-one euros“.

Children find it, as much as I can judge, easier to have an extra name for the decimal places. Our big daughter speaks of „Tys“ (numbers like ten, twenty, thirty, forty etc.) in juxtaposition to the natural numbers between one and nine. In Greek this is expressed by means of the terms „decades“ and „monads“ (although our daughter does speak Greek, she does not know what these words mean and prefers to use „German“ terms invented by herself). At some schools children learn to distinguish between the decimal places in terms of different colours. Greek numerals distinguish between them graphically.

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Parents and teachers often claim that if you are good in languages, you are not good in maths and vice versa. To my opinion this is simply false. Mathematical and linguistic competence are closely tied.

Next Thursday is our younger daughter’s first day at school and our older one’s first day in the third class.