Times, they ain’t no changin´

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Die karikaturistische, volkstümliche Personifizierung greiser Jahre als alter Männer mit weißem Bart und einer Jahresangabe am Gewand, von jungen Jahren als Babys mit dem Nachfolger dieser Zahl an der Windel ist insofern irreführend, als sie andeutet, die Nummer – eine für eine Kardinalzahl wie 2016 oder 2017 oder meinetwegen 1517 – wäre der Name des Jahres, im letztgenannten Fall wohlgemerkt eines Jahres, das für Kardinäle sehr ärgerlich war.

Nummern, die Kardinalzahlen ausdrücken, sind zwar Eigennamen, allerdings keine Eigennamen von Jahren, sondern von Mengen; genau genommen von derartigen Mengen, die alle und nur diejenigen Mengen als Elemente enthalten, die ein-und-dieselbe Kardinalität haben. “2017” ist der Eigenname der Menge der 2017-elementigen Mengen und sonst von nichts anderem…

Das neue Jahr heißt nicht 2017. Es ist bloß das 2017. Glied in einer bestimmten Reihe – gewiss in einer McTaggart-A-Reihe. 2017 ist hier eine Ordnungs-, keine Kardinalzahl.

Ist es so wichtig, sich darüber zu vergewissern? Ich glaube schon! Der Eigenname ist der Name eines Individuums. Die Ordnungszahl ist dagegen die Eigenschaft, das soundsovielte Glied einer Reihe zu sein – vielleicht einer Reihe von Individuen, vielleicht aber auch einer Abfolge ein-und-desselben Individuums, das immer wiederkehrt.

Ich tendiere immer mehr zu letzterer Vorstellung. Jedes Jahr ist eine Wiederholung seiner selbst. Wir versuchen es zwar zu verändern, indem wir Relationen von Einzelereignissen in demselben verändern, übersehen allerdings dabei, dass wir nur Akzidenzien verändern.

Am Ende wundern wir uns, wie wenig wir von unseren Vorsätzen umgesetzt haben, wie unbedeutend sie waren sowieso, und wir bereiten uns auf die nächste Wiederholung vor.

Nicht dass ich dem Optimismus, den Veränderungen und Durchbrüchen gegenüber dickhäutig und verschlossen stünde. Ich mag z.B. Brechts Verse:

Am Grunde der Moldau wandern die Steine

Es liegen drei Kaiser begraben in Prag.

Das Große bleibt groß nicht und klein nicht das Kleine.

Die Nacht hat zwölf Stunden, dann kommt schon der Tag.

So sehr gefallen sie mir, dass ich sie meinen Kindern vorm Schlafengehen rezitierte.

D.h. als sie noch in den Kindergarten gingen…

Enough with scrolling

I used to recite Brecht’s Song from 5’45”to 7’53” to my kids.

The stones of the Moldau’s bottom go shifting

In Prague three emperors molder away.

The top won’t stay top, for the bottom is lifting

The night has twelve hours and is followed by day.

This was during their kindergarten years. After the termination of this blessed time, my optimism and faith to moving forward started to fade away. And for a good reason.

There are these comics at every New Year’s Eve depicting the old year as an old bearded man with a number on his dress, and the new year as a baby with the successor of this number on his diaper. People think that the numerals that refer to these numbers are the proper names of these personified years – which is, of course, nonsense since numerals are proper names of sets, not of years. More precisely, numerals are proper names of sets that contain as elements all and only those sets that have one and the same cardinal number. 2016 is the proper name of the set of all and only those sets with 2016 elements – not of the year 2016 or anything else – 2017 is the proper name of all and only those sets with 2017 elements – not of the year 2017 or anything else – 1517 is the set of all and only those sets that have this cardinality – not of the year that cardinals of the Curia hate.

Years have no numerals of cardinal numbers as proper names. They are simply assigned properties in terms of adjectives that express ordinal numbers. Ordinal numbers are quite different from cardinal numbers. The ordinal number 2017 is the property to be the 2017th member of a series – McTaggart’s A-series of course. Note that while cardinal numbers are proper names of different individuals, i.e. while the individual under the proper name “2016” is quite different from the individual under the proper name “2017” (different individuals!), the 2017th member of a series doesn’t need to be different from the 2016th member of the series. Perhaps we have the repetition of the same individual in the series.

I’m very sympathetic towards this last thought lately: every new year is simply the last year once again. We try to change the relations between particular events to make it better, more fitting, or you name it, but we forget that even if we manage to do so, instead of giving the year a new personality that would be fundamentally different than that of the previous year, we simply modify some of its accidents.

Too pessimistic you say? I suppose I don’t really care! My kids left kindergarten some years ago. They don’t need Brecht’s verses anymore.

Let alone myself…

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Reine Anschauung: Kant für Kinder

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Es gibt eine Schnittstelle zwischen Kants Erkenntnistheorie und Mathematikdidaktik – dessen bin ich mir sicher! Ich kann sie auch ganz schnell erläutern, nachdem ich nunmehr nach der Einschulung auch unserer Jüngeren letzten September beide Kinder, die wohlgemerkt mit unterschiedlichen Ansätzen lernen, für einige Zeit in ihren Fortschritten beobachtet habe.

Die eine zieht beim Rechnen gelegentlich Anschauungshilfen dem Kopfrechnen vor. Sie nimmt dazu nicht mehr gegenständlich ihre Finger. Eher stellt sie sich vor, sie hätte ihre Finger gespreizt und nachgezählt.

Die andere musste sehr früh ohne Anschauungshilfen auskommen lernen.

Nun habe ich zwar keine Experimente durchgeführt, aber die freie Beobachtung der Kinder führt mich zu folgenden Betrachtungen: Kopfrechnen stellt vordergründig  sprachliches und kein rein mathematisches Können dar. Aber Rechnen mit Anschauungsmitteln ist – wenngleich “primitiver” – Ausdruck rein mathematischen Könnens. Mathematik basiert auf Anschauung, meinte Kant.

Beim Kopfrechnen kommen sprachliche Regeln zur Anwendung – z.B. die Regel: “Immer wenn ich vier oder vierund-x-zig zu fünf oder fünfund-x-zig addiere, bekomme ich neun oder neunund-x-zig”. Die Neun wird damit als ein anderer Name für vier plus fünf behandelt. Dann gibt es die Zig-Regel: Zwanzig plus zwanzig ist wie zwei plus zwei mit der Endung “-zig”. Die Kinder wissen natürlich, dass diese deutsche Regel mit der griechischen Regel äquivalent ist: Eikosi plus eikosi ist wie dyo plus dyo mit der Endung “-anta”. Zwar ist das linguistisch gesehen eine Regel, die das Unwort “tesseranta” ableiten lässt, aber die Brücke zum neugriechischen “saranta” für vierzig schlagen die Kinder sofort. Das nur am Rande, denn es geht mir beim Vergleich beider Sprachen um etwas anderes: Die Kinder tendieren generell dazu, auf die deutsch formulierte Frage: “Wieviel ist zwanzig plus zwanzig?” die Antwort “vierzig”  zu geben. Auf die damit gleichbedeutende neugriechische Frage aber: “Poso kanei eikosi kai eikosi?” geben sie die Antwort “saranta”. Sie bleiben der Sprache treu, in der die Frage formuliert wurde.

Nicht so allerdings unter Verwendung von Anschauungshilfen! Haben sie auf einmal Probleme damit, spontan 18+13 zu errechnen, und greifen sie auf Anschauungshilfen zurück, dann muss ich eine Antwort in der in unserer Familie und Umgebung dominanten Sprache erwarten, d.h. auf Deutsch, selbst wenn der Diskussionskontext neugriechisch war. Der Umstand, dass ein Kind das “primitive”, “Kantische” Rechnen mit Anschauungshilfen eventuell nicht mit Bezug auf die gerade gesprochene Einzelsprache durchführt, sondern in einer anderen, dient mir als Indiz dafür, dass dieses Rechnen nicht sprachlich “kodifiziert” ist.

Im Zweifelsfall über die Effektivität der sprachlichen Rechenregeln ist diejenige Tochter schneller, die das “primitive”, “Kantische” Rechnen nicht verlernt hat. Die andere muss sich lange mit ihren Sprachregeln für Rechnen abmühen.

Erstellt irgendein italienischer Kellner in der Pizzeria die Rechnung auf Deutsch statt auf Italienisch? Wenn ja, dann muss er ein Kantianer sein – und wahrscheinlich mit dem Abakus rechnen.

Neumuenster_Gymnasium_Immanuel-Kant-Schule

Kantian theory of knowledge and the didactics of mathematics converge at some point. I’m certain about this after I observed since last September both of my children instead of until then only one in their progress in maths. I have to add that they visit different schools with different approaches in the subject.

I have one daughter who takes assistance from her intuition. She doesn’t use her fingers for this anymore. She just imagines she would use her fingers – which is clever, I think, although primitive on a methodological level.

My other daughter had to learn very early to do her math without any assistance from intuition.

Without experiments, just by observing, I realized that mental arithmetic is a linguistic, not a purely mathematical competence. But arithmetic with intuitive tools is – although more “primitive” – an expression of mathematical thinking. Kant said that mathematics is based on intuition.

In mental arithmetic the rules are linguistic. Take the rule: “Whenever I add four or x-ty four to five or x-ty five then the result is nine or x-ty nine”. Nine is in this case another name for four plus five. Take one more rule: “Twenty plus twenty is like two plus two with the ending -ty”. My children know of course that this English rule is equivalent with the Greek rule:  Eikosi plus eikosi is like dyo plus dyo with the ending “-anta”. Linguistically, what you get out of this, is the monster word “tesseranta” but this is not a big problem. The children think of the monster word and pronounce the correct modern Greek term for fourty: “saranta”. This is here not the issue anyway. The issue is that I realized that my children tend to stay faithful to the language in which questions are asked. If you ask them “How much is twenty plus twenty?” they’ll reply: “fourty”. But if you ask them the equivalent Greek question: “Poso kanei eikosi kai eikosi?” they’ll reply: “saranta”.

I’m not ready yet – there is something remarkable coming: If you ask my children to calculate 18 + 13 and allow them to take assistance from intuition – say, their pencils – then they’ll reply in the dominant language of our social environment, i.e. German, even if you formulate your question in English or Modern Greek. I take this as an indication that the more “primitive”, “Kantian” calculation with assistance from intuition is not linguistically “codified”. My daughter who didn’t forget the “primitive” “Kantian” calculation is very quick in recognizing that she has to count and not to apply linguistic rules while the other considers her mental rules for calculation for some more time.

No Italian Pizzeria waiter calculates in English when he writes down the bill. They always do so in Italian and apply the linguistic rules for mental arithmetic which they learned when they were children. If you meet an Italian waiter who calculates in English, you’ll be justified to call him a Kantian and to ask him where he hides his abacus.

Zahlen, Zahlwörter, Numerale

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Mit der Didaktik des Mathematikunterrichts habe ich mich nie ernsthaft beschäftigt. Also habe ich in diesem Sujet mehr zu lernen als zu lehren. Was ich nun von meinen Kindern bisher gelernt habe, ist, dass mathematisches Können sprachliche Kompetenz darstellt.

Der italienische Pizzeria-Kellner, der beim Rechnen stets die Sprache wechselt, ist ein Anzeichen dafür, dass unsere alltägliche Rechenpraxis sprachlich vermittelt ist: “Undici e tredici fa ventiquattro. E sette: Einunddreißig Euro genau macht das”.

Wir rechnen wohl nicht unter Rückgriff auf die Vorstellung der Zahl, sondern auf irgendwann erlernte sprachliche Zeichen, die für Zahlen stehen.

Auch Kinder finden es meines Erachtens leichter, wenn sie einen besonderen Namen für die zu addierenden Dezimalstellen haben. Unsere Große spicht in dieser Hinsicht von “Zigs” (das sind Zahlen wie zehn, zwanzig, dreißig usw.) und “Zacks” (eins, zwei, drei usw. bis neun). Das Griechische von “Dekaden” und “Monaden” (unsere Tochter kann schon Griechisch, aber sie kennt die Bedeutung dieser beiden Termini nicht und hat sowieso eigene “deutsche” Wörter dafür erfunden). Es gibt Schulen, in denen den Kindern beigebracht wird, Dezimalstellen farblich zu unterscheiden. Die griechischen Numerale unterscheiden zwischen ihnen grafisch!

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Der von Eltern und Pädagogen oft angesprochene Gemeinplatz: “eher sprachlich oder mathematisch begabt?” erscheint mir infolge dessen suspekt. Mathematisches Denken und Sprachgewandtheit gehören zusammen.

Am Donnerstag ist der erste Tag unserer Kleinen in der ersten, unserer Großen in der dritten Klasse.

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I never seriously occupied myself with the didactics of mathematics, which means that I have much more to learn than to teach on this subject. In fact, I learned from my children that familiarity with mathematics is akin to a linguistic competence.

Italian waiters who skip from the one language to the other as they write down the bill demonstrate that everyday calculations are not based on the representation of number but rather on linguistic signs which stand for numbers and are learned by heart : “Undici e tredici fa ventiquattro. E sette: that would be thirty-one euros”.

Children find it, as much as I can judge, easier to have an extra name for the decimal places. Our big daughter speaks of “Tys” (numbers like ten, twenty, thirty, forty etc.) in juxtaposition to the natural numbers between one and nine. In Greek this is expressed by means of the terms “decades” and “monads” (although our daughter does speak Greek, she does not know what these words mean and prefers to use “German” terms invented by herself). At some schools children learn to distinguish between the decimal places in terms of different colours. Greek numerals distinguish between them graphically.

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Parents and teachers often claim that if you are good in languages, you are not good in maths and vice versa. To my opinion this is simply false. Mathematical and linguistic competence are closely tied.

Next Thursday is our younger daughter’s first day at school and our older one’s first day in the third class.