Grelling

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Das Grelling-Paradox ist mir aus meiner Studentenzeit als ein schwer zu knackendes Rätsel in Erinnerung geblieben. Ihm liegt eine Unterscheidung zwischen autologischen und heterologischen Wörtern zu Grunde. Erstere besagen, was sie sind (etwa „kurz“, denn es ist ein kurzes Wort und besagt das auch, oder „kursiv„, da es kursiv auf dem Bildschirm erscheint und nichts anderes sagt), letztere sind nicht autologisch („lang“ ist z.B. entgegen seiner Bedeutung ein kurzes Wort und „kursiv“ erscheint recte auf dem Bildschirm). Das Paradox wird dadurch generiert, wenn man fragt, ob das Wort „heterologisch“ autologisch oder heterologisch ist. Wenn Ersteres, dann Letzteres. Wenn Letzteres, dann Ersteres.

Das Grelling-Paradox ist interessanter als etwa der Barbier, der nur und all diejenigen Dorfbewohner rasiert, die sich selber nicht rasieren. Denn beim Barbiersparadox gibt es den Barbier einfach nicht (deshalb ist der Barbier kein echtes Paradox), während „heterologisch“ im Grellingparadox (durch und durch auf analoge Weise zum Russellschen Paradox) eine existierende Eigenschaft ist – eine existierende Menge mit Elementen wie die oben genannten Beispiele.

Das Paradox basiert auch darauf, dass „autologisch“ und „heterologisch“ einander ausschließen würden. So sei „heterologisch“, so jedenfalls die überkommene Weisheit, das Komplement einer mit Sicherheit existierenden Menge: der Menge der autologischen Begriffe. Langsam bin ich aber über die überkommene Weisheit nicht so sicher. Nehmen wir das französische Substantiv „la terreur“: Es ist, würde man sagen, heterologisch, denn, warum sollte man Angst vor dem Begriff Terror haben? Ich fürchte aber, für einen des Lateinischen Kundigen mit wackeligem Französisch ist „la terreur“ autologisch: Was für eine fürchterliche Idee, was für eine einmalige Grausamkeit, aus einem lateinischen Maskulinum, ein französisches Femininum zu machen…

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Grelling’s Paradox is not like the barber who shaves all and only those villagers who don’t shave themselves – and that’s for sure. While in the barber’s case there is no such individual, in Grelling’s Paradox – and this is what makes it akin to Russell’s Paradox rather than to the barber – you can’t say that there is no such a set as the heterological words, i.e. words that do not fall under the concept they designate. E.g. „long“ is heterological since it’s a short word (but „short“ is autological). E.g. „italics“ is heterological since you can see the word in upright letters on your display (but „italics“ is autological). So, it would seem that „heterological“ is either autological or heterological. But if it’s the one, it’s the other – I leave the iterations, the loopings, the proof to the reader.

However, I have an argument that it’s not the case that a word can be either autological or heterological. Take the French noun „la terreur“. It seems heterological: why would anyone be afraid of this word? I suppose many, the most, are not.

But wait! What about people who know Latin and have a very restricted knowledge of French? When they speak French, aren’t they justified to be anxious that a word they assume to be masculine because it’s masculine in Latin, has turned feminine in French and people would make fun of them?

Well, this is the case with „la terreur“.

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Raum und Vergangenheit

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Das Paradox der unerwarteten Exekution ist sehr bekannt. Es läuft so: Zu Tode Verurteilter erfährt am Sonntag, dass er A. an einem Werktag der anbrechenden Woche exekutiert wird, allerdings B. unerwartet: Am Vortag seiner Exekution soll er nicht wissen dürfen, dass er am nächsten Tag sterben wird. Frohen Mutes verkündet er, dass er nicht exekutiert wird.

Denn am Freitag kann er nicht exekutiert werden: Wäre der Donnerstag erreicht, dann wüsste er, dass er am Freitag exekutiert würde, aber das darf nicht sein, also nicht am Freitag. Wäre aber der Mittwoch erreicht, dann wüsste er, dass der Donnerstag der einzige in Frage kommende Exekutionstag ist – der Freitag darf es ja nicht sein – aber dann wüsste er bereits am Vortag, dass seine Exekution bevorsteht.

Kurz lässt sich mit Rekursion über alle Elemente der Reihe Freitag bis Montag leicht beweisen, dass er nicht exekutiert wird.

Das ist natürlich paradox, denn aus der Montagsperspektive kann der Häftling natürlich am Mittwoch etwa exekutiert werden. Wer weiß, innerhalb der nächsten 80 Jahren sterben zu müssen, und auch noch damit rechnet, bis vor seinem letzten Moment seines Todes nicht bewusst zu werden, kann damit nicht die Behauptung geltend machen, er würde womöglich gar nicht sterben.

Entsprechend ist der Fall des Flugzeugs, in dem die Regel gilt, die Rückenlehne nicht nach hinten zu drücken, es sei denn, der Fluggast hinter einem kann ausweichen. Das können wohlgemerkt die Fluggäste der letzten Sitzreihe nicht. Ist diese die 31, dürfen nur die Passagiere der Reihe 30 die Rückenlehne nicht in die Liegendposition stellen, alle anderen aber schon.

Alle anderen schon? Wie sollen sich denn die Passagiere der Reihe 29 gegenüber denen der Reihe 30 verhalten, die nach den Spielregeln eventuell ebenfalls nicht ausweichen können?

Ich erspare dem Leser die Einzelschritte. Wie man sieht, kann mit Rückwärtsinduktion gezeigt werden, dass niemand im Flieger die Rückenlehne zurückstellen darf. Und mit Vorwärtsinduktion?

Mit Vorwärtsinduktion eigentlich auch! Was ist passiert? Gilt im Flieger etwas anderes als in der Exekutionswoche?

Der springende Punkt ist das Unwissen bei der Vorwärtsinduktion in der Exekutionswoche. Dieses Unwissen besteht im Flieger selbst bei der Vorwärtsinduktion nicht – und bei der Rückwärtsinduktion in keinem Fall. Sobald der (nicht kurzsichtige!) Fluggast in der ersten Reihe nach hinten guckt, weiß er, dass er lauter Leute hinter sich hat, die eventuell nicht ausweichen können.

Er betrachtet freilich einen Raum, nicht die Zeit.

Der zu Tode Verurteilte schaut dagegen auf die Zeit und stellt fest, dass sie vorwärts betrachtet eine epistemische Ungewissheit zulässt, die sie rückwärts nicht zulässt. In die Vergangenheit gucken, ist wie die Raumanschauung: durchdeterminiert.

In die Zukunft gucken, ist anders. In die Zukunft gucken wir stets mit einer gewissen Kurzsichtigkeit.

Wer nach Argumenten gegen den Determinismus sucht, mag die Dysanalogie zwischen dem Flugzeug und der Exekutionswoche passend finden. 

Vielleicht nicht direkt, um die Willensfreiheit zu begründen. Allerdings, um die Inadäquatheit der inversen (und durchdeterminierten) Induktion für den Begriff Zukunft aufzuzeigen.


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The paradox of the unexpected execution is very well known and has been often – however not exhaustively – described.

The plot is the following: the convicted learns on Sunday that his execution will be during next week on a working day and he will only know that he will be executed only on the very day of his execution. I.e. he will not know beforehand that the next day will be the last day of his life. This is what makes him say that according to the rules he will not be executed. And he has an argument for this.

He cannot be executed on Friday because this would be equivalent to his knowing on Thursday that the next day will be his last. But he cannot be executed on Thursday either since, Friday being out of question for the aforementioned reason, on Wednesday he would know that the next day will be his last – and so on until Monday…

The paradox here consists in the fact that, without the inverse induction, you can execute him on, say Tuesday. In fact, every one is certain to die and some of us will not realise so until the very last moment. But this would not justify the last to believe that they would never die.

Also puzzling is the following fact: inverse induction brings forth a similar situation in an airplane in which you have the rule not to lean back with your seat unless the person behind you would avoid your tipping at his nose with the top of your head. Since the last tow (say 30) would not be able to avoid the leaning-back passengers of row 29, 29 may not lean back. But then also 28 may not lean back since 29 behaves like having seats that couldn’t lean back and so on until the first row.

Now, unlike the case of the execution week, in the airplane you realise that you can’t lean back by inverse induction and by looking towards the tail. By just watching, you immediately realise that the rule does not allow you to lean back – provided you’re not myopic.

In an airplane you observe a space, not a time – and this is what makes the big difference between the execution week and leaning back in the plane. We‘re myopic when we observe the vector of time, not however when we observe space or make inverse induction in time.

If you look for an argument against determinism, this is it. Even if the paradox of the unexpected execution does not directly pertain to the freedom of will, it shows that the deterministic, non-myopic view of inverse induction is not adequate to capture our intuition of futurity.

The Swiss Sorite

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Die Philosophiegeschichte hat viele Probleme von der Art der Haufenparadoxie zu lösen versucht. Zunächst natürlich das klassische: Wie viele Steine sollen übrig bleiben, damit mein Steinhaufen, von dem ich Steine nach und nach wegnehme, kein Haufen mehr ist? Einer? Nein, denn auch mit zwei habe ich keinen Haufen. Aber habe ich dann mit drei einen Haufen? Wohl nicht. Vielleicht habe ich sogar keinen Haufen, wenn vier Steine übrig sind. Eine konkrete Zahl lässt sich nicht bestimmen.

Oder wann ist der Anfang der Welt? „Die Schöpfung“ oder „Der Urknall“ wird der Leser je nach Gesinnung antworten.

Und was war vorher? Nichts außer – wenn überhaupt – Gott. Dann setzen wir doch den Anfang in dieses Nichts. Dort haben wir plötzlich etwas: den Anfang. Gleichzeitig etwas, dem wir etwas davorstellen können usw.

Es gibt auch alltägliche soritische Probleme: Wann wird die Antipathie so groß, dass wir plötzlich Hass haben? (Mit einem vermeintlichen Übergang von Sympathie zu Liebe hat man wiederum keinen Soriten, denn Liebe gibt’s natürlich nur auf den ersten Blick).

Schließlich gibt’s soritische Probleme, mit denen sich die Philosophiegeschichte nie beschäftigt hat: Wann geht das Grün vom Zugersee ins Blau über?


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There are many problems about heaps that the history of philosophy has struggled to solve: When is a decreasing heap of stones no heap any more? When only one stone is left? Rather no! When two are left? I’d say, rather three! But if three stones are a heap and two are not, couldn’t one say that four are a heap and three are not?

Another one is the following: What was before creation (or the Big Bang)? Whatever it was, why don’t we put there the starting point? But what was before this? Nothing? Well, put the starting point into nothing. But now you have something there: a starting point! Why don’t you put the starting point ahead of this? Etc.

There are also everyday soritic problems: where does antipathy give way to hatred? This is mostly undetermined (you don’t have this problem with sympathy and love, of course: there’s only love at first sight or not at all).

There are also problems with heaps that history of philosophy hasn’t dealt with: Where does blue begin and where does green cease to be in the Swiss Lake Zug?

Tribalism and vegetables

Arkas 1

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Eine wichtige These in Pierre Bourdieus einflussreichem Werk Die kleinen Unterschiede lautet, dass Binnengruppen (und im allgemeinen Gruppen) sich von Außenseitern dadurch unterscheiden, dass sie entweder Grenzen zwischen dem Innen und dem Außen ziehen, die Außenseitern unsichtbar sind, oder die Gruppenzugehörigkeit von Kriterien abhängig machen, die von Außenseitern nicht kopierbar sind. Essensvorschriften können solche Kriterien sein.

Koscheres Essen ist eine solche Vorschrift. Nehmen wir das Verbot, ein Lamm in der Milch seiner Mutter zu kochen – der Milch also, die vielmehr des Lammes Nahrung denn des Lammes Sauce als unsere Nahrung sein sollte. Dass sich daraus im späteren Judentum das Verbot ergab, Kalbsschnitzel mit Feta als Beilage zu essen, verstehe ich als immer mehr und mehr verallgemeinerte – auch metaphorische – Interpretation des ursprünglich eng zu verstehenden Verbots durch Binnengruppen, die die Außenseiter schließlich entweder absorbierten oder verdrängten.

Das christlich-orthodoxe Fasten – bald erreicht es seinen Höhepunkt – ist ebenfalls eine Binnengruppen-Essensvorschrift im kultursoziologischen Sinn. Es fällt auf den ersten Blick auf, dass es zum Ausschluss von Juden maßgeschneidert ist. Gemüse ohne pflanzliches Fett zubereitet (Butter und Käse sind natürlich no-go) ist zwar OK für Juden, aber die Proteine-Lieferanten vieler Griechen, Russen, Melkiten usw. in der Fastenzeit – Krusten-, Weichtiere und Meeresfrüchte – schließt die jüdische Essensvorschrift aus. Abgesehen davon können beide Gemeinschaften nicht gemeinsam feiern, da Paskha mit Pessach nicht zusammenfallen darf.

So verstandener Tribalismus ist einerseits alles andere als „fein“, um bei Bourdieu zu bleiben, andererseits würde selbst der Versuch von Konversionswilligen, in die andere Gemeinschaft aufgenommen zu werden, an der Umsetzung von diätetischen Feinheiten misslingen. Die Zeit zu lernen, hätten die Konversionswilligen jedenfalls nicht. Schuld daran wäre der Tribalismus, der wahrscheinlich jede Heiratsmigrantin und jeden Heiratsmigranten zum Verlassen der Hölle bringen würde, bevor jene auf den Geschmack kämen bis ins exotische Paradies der Anderen hinein.

Gläubige stellen sich oft das Paradies als einen Ort vor, wo sie, selbstverliebte Heimatpatrioten, für ihre Lebensweise und Diät belohnt werden. Andersgläubige, Analytiker und Nouvelle-Cuisine-Leute würden keine Freude dort haben.

Arkas 2

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One of the basic statements in Pierre Bourdieu’s La difference is that ingroups (groups generally) distinguish themselves from outsiders along lines that, for outsiders, are invisible or by criteria that, for outsiders again, are impossible to copy. This can be also by means of religious prescriptions concerning food.

Take kosher cuisine. How comes that a prescription to avoid cooking a lamb in its own mother’s milk – NB, milk that was supposed to serve as the lamb’s food, not as a sauce to the lamb when the latter is your food – becomes the prescription not to have sheep’s feta as a side dish to a beef steak? I can only understand the process as an ongoing radicalisation that begins in an ingroup that uses no sheep’s butter (yes, it exists!) to cook a lamb, to end with the same ingroup’s using no dairy products in combination with any meat – and excluding the outgroups from the community altogether.

Christian-Orthodox fasting – soon to be on its peak – would be another example of ingroup-forming diet. It seems rather clear that the fasting prescriptions of the Eastern Church are tailored to exclude Jews: you may eat vegetables without any oil, let alone butter, and as a source of proteins you may take oysters, shrimps and octopuses – that are not kosher. Additionally, Orthodox Christians would postpone Easter if it would coincide with Jewish Passover, so that the communities would never celebrate at the same time.

Tribalism is not invisible, of course, but what follows is: any member of another community who is willing to convert, would find it very hard to copy the dietetic rules. Additionally, tribalism would make her or his life like hell. The newcomer would leave this hell before being able to conform to the complicated rules to lead to an alleged paradise.

Is what people hold to be paradise after all any more than a provincial place for narcissistic villagers? And would a person of another tradition, an analytic, a friend of nouvelle cuisine ever get the chance of having joy there? The questions are rhetorical.

Smullyan’s kiss – the full story

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Den New-York-Times-Nachruf zu Raymond Smullyan habe ich sofort repostet. Der Held unserer logischen Jugendextravaganzen pendelt seit letzter Woche nicht mehr zwischen seiner eigenartigen Mystik und dem Agnostizismus. Entweder weiß er Bescheid und wurde definitiv zum Mystiker, oder er weiß nichts mehr und kann nicht mal als Agnostiker gelten. Tote sind Mystiker oder keine Agnostiker – die Disjunktion ist inklusiv.

Der New-York-Times-Nachruf ist schön geschrieben, aber ich vermisste eine ausführliche Besprechung des in demselben lediglich kurz erwähnten Tricks, mit dem Smullyan einen Kuss im ersten Date mit seiner späteren Ehefrau logisch herbeigeführt haben soll – einen Kuss aus logischer Notwendigkeit. Diese Lücke möchte ich schließen.

Mit dem Kuss aus logischer Notwendigkeit hat es sich folgendermaßen verhalten: Smullyan soll im Laufe des Abends Folgendes behauptet haben:

Wenn ich mich nicht irre, wirst du mich heute Abend noch küssen.

Die Implikation ist entweder wahr oder falsch. Falsch ist eine Implikation nur, wenn das Antecedens wahr aber das Konsequens falsch ist. Mit anderen Worten war die obige Implikation am Anfang des Abends nur dann falsch, wenn sich Smullyan zwar nicht irrte, aber keinen Kuss bekommen hätte. In diesem Fall wäre Smullyan jedoch vor Irrtum gefeit gewesen, während er eine laut Annahme falsche Implikation aussprach. Das ist ein Widerspruch, weshalb die Implikation nicht falsch sein konnte.

Also musste die Implikation wahr sein. Wohlgemerkt hätte Smullyan auch dann keinen Kuss bekommen unter der Bedingung, dass sowohl das Antecedens als auch das Konsequens falsch sind. Das würde allerdings heißen, dass Smullyan sich irrte und dass er keinen Kuss bekam. Aber wie kann sich jemand irren, der eine laut Annahme wahre Implikation ausspricht? Die Frage ist rhetorisch… Beide in Frage kommenden Interpretationen mit falschem Konsequens sind somit auszuschließen.

Deshalb muss das Konsequens („Du wirst mich heute Abend noch küssen“) wahr sein. Das ist auf logisch zwingende Weise die einzige nichtwidersprüchliche Interpretation der Behauptung von Smullyan. Aber das bedeutet, dass Smullyan geküsst wird. QED

Von einem abgeleiteten Sachverhalt zum tatsächlichen gibt es normalerweise keine Distanz, in diesem Fall allerdings schon. Damit der Trick funktioniert, muss die Angebetete erstens logisch geschult sein, ferner die Selbstreferenz, auf der das Ganze fußt, als nicht sinnlos betrachten, drittens Humor haben und – last but not least –  die Bivalenz (es gibt nur wahr und falsch und nichts dazwischen) für den für die gegebene Situation adäquaten semantischen Rahmen halten.

Da die Adäquatheit extralogisch ist, zeugte es nicht nur von Smullyans Genius, wenn Smullyan die Logikerin am Tisch – eigentlich eine Pianistin – zur Bivalenz und eo ipso zum Kuss überzeugte. Die Geschichte zeigt vielmehr, dass Blanche Smullyan drei gerne gerade sein ließ, wenn es um Raymond ging. Logisch geschulte Leser werden’s ja bemerkt haben: In einem vielwertigen Rahmen wäre der Witz pointenlos.

Aber wer denkt an Vielwertigkeit, wenn’s am Tisch nur Platz für zwei und viel Sympathie beiderseits gibt? (Gut, bei viel Sympathie braucht man sowieso keine Argumente, aber das führt jetzt zu weit…)

Als Smullyan jung war, war die Bivalenz zudem die Fachorthodoxie. Selbst die Bilder waren zweiwertig.

Schwarz-und-weiß halt‘.



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Many decades ago, Raymond Smullyan, whose obituary in the New York Times I reposted the other day, was a young scholar in a discipline whose semantical orthodoxy prescribed bivalence.

Pictures were, in a way, also bivalent: black and white.

One evening this magician and logician reserved a table for two – two being a very important number in this story that the New-York-Times mention only incompletely – that is for himself and the woman who was about to become his second wife.

It was their very first date and thereby a very improbable occasion for their first kiss. Smullyan, however, inferred logically that he had to be kissed before.the end of the evening. This is the full story of a kiss said to be given for reasons a priori:

Fully out of the blue, Smullyan claimed:

If I’m not wrong, you’ll kiss me tonight.

This is, of course, a conditional, and one that’s either true or false. If false, then the hypothesis is true and the apodosis false. The hypothesis maintains that Smullyan’s not wrong. And it’s supposed to be true if the conditional is about to be false, but this is contradictory because if the conditional is false, Smullyan is wrong after all – against the assumption, that is, that the appdosis is true.

Therefore the conditional has to be  true. But it cannot be true in virtue of a false hypothesis („I’m not wrong“) because if the hypothesis were false then the conditional would be false against the assumption. Therefore the hypothesis must be true. But the only way for an hypothesis and the conditional to be true is that the apodosis („You’ll kiss me tonight“) is true. The a priori consequence was that Blanche (her name, as a matter of fact a pianist and as far as I know not a logician) had to kiss Raymond.

There’s normally no gap between a logical inference and the bringing about of the matter of fact that it describes. Paradoxically, this is not such a case. In order for the trick to work you must have someone with a sense of humour and one with logical training or the corresponding intuition. Plus, she mustn’t think that self-reference is nonsense.

And even then you have to persuade her first that bivalence is the adequate semantical setting for the situation described. This doesn’t go without an argument. Or she must like you, but then no arguments are needed anyway.

But, as I said, it was a time of bivalence and black-and-white pictures.

Brothers of invention

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Nachdem sich die Philosophen jahrhundertelang in der Rolle des Entdeckers, nicht des Erfinders gefallen haben, ist die Zeit reif für die erste philosophische Erfindung der Weltgeschichte. Sie geht aufs Konto der Besucher meiner Philosophie-Ethik-Stunde. Es ist die Schere des Barbiers aus Russells Paradoxie, der nur die und all diejenigen rasiert, die sich nicht selber rasieren (d.h. wenn er sich nicht rasiert, dann rasiert er sich – und umgekehrt).

Die Schere ist unserem Barbier angemessen, denn sie muss ausgeschnitten werden, damit sie gebraucht wird, und sie muss gebraucht werden, um ausgeschnitten zu werden.

(Ist der Joke rüber oder sind die einzigen, die darüber lachen können, meine Schüler und ich?)


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What you see above are the scissors of Russell’s barber, the man who shaves only and all those who don’t shave themselves and consequently shaves himself if and only if he doesn’t.

A student from my class constructed the scissors to fit to the needs of the legendary barber. You’ve cut off the scissors to use them if and only if you’ve used them to cut them off.

This is a premiere in the history of philosophy. For centuries now philosophers have discovered things but invented nothing – until my students managed to fruitfully make the step from philosophical discovery to philosophical invention.

(OK, I hope that the joke’s not too silly).

Forget Moore’s Paradox: here’s Greta’s solution

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Giorgos Chelakis, griechischer Sportjournalist ohne einen Anhauch philosophischer Bildung, wird mit den Worten zitiert: „Ich glaube gar nicht, was hier passierte, aber es passierte“. Verständlich, wenn man bedenkt, dass er diese Worte nach dem Sieg der griechischen Nationalelf im Spiel gegen Frankreich im Viertelfinale der EM 2004 gesagt haben soll. Verständlich und nichtwidersprüchlich natürlich, denn es widerspricht sich gar nicht, dass etwas der Fall ist und dass ich nicht glaube, dass es der Fall ist. G.E. Moore, der Vater der analytischen Philosophie, dachte allerdings, dass das paradox ist: Wie kann es sein, dass ich etwas behaupte, aber gar nicht daran glaube, was ich behaupte?

Nun könnt Ihr das mooresche Paradox vergessen, liebe Leser! Hier kommt Greta:

Papa, wenn ich wünsche, dass Island siegt, aber glaube, dass Frankreich siegt, dann bin ich kein so guter Island-Fan wie jemand, der wünscht und gleichzeitig glaubt, dass Island siegt, oder?

Greta ist 9 Jahre alt und weiß, dass in den natürlichen Sprachen alle Modalitäten (einschließlich der assertorischen) zusammenhängen. Das mooresche Problem wird als Paradoxie nur empfunden, wenn man den formalen und den informellen Kontext der betroffenen Aussagen durcheinanderbringt. Die dem informellen Kontext zugrunde liegende Intuition gab allerdings meine Tochter mit ihrer obengenannten rhetorischen Frage ganz klar zu erkennen!

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Giorgos Chelakis, a Greek sports commentator without any philosophical background, is quoted to have said after Greece’s win over France in Euro 2004: „I don’t believe what happened but it happened“. The statement expresses an odd disharmony between what the speaker considers to be the case and what he professes to believe but bears no formal contradiction, which makes it a case of Moore’s Paradox.

Now, forget Moore’s Paradox. Here’s Greta:

Tell me dad, when I wish Iceland to win but believe that France will win, then my support of Iceland is not as sincere as someone’s who wishes and believes that Iceland will win, isn’t it?

Greta is 9 years old and knows that in natural languages all modalities (and this would include assertoric sentences) are interconnected. This said, it’s clear that what we see as paradoxical in Moore’s Problem is our confusion of the formal and the informal context of the sentences involved. If you stick with the informal context that Greta took for granted in her rhetorical question, the paradox vanishes.