Tossing coins in Heidiland

wahrscheinlichkeiten-und-mehrwertigkeit

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Es ist zwar kein logisches Manifest für die mehrwertige Semantik, aber Johanna Spyris Heidi propagiert eine Haltung gegen Manichaismus, gegen Schwarz-und-weiß, gegen scharfe Dichotomien. Das Land, das Spyri als Umfeld benutzt (und idealisiert), hat ebenfalls diese Eigenschaft wenigstens in Bezug auf einen Kontext, für den wir normalerweise eine scharfe Dichotomie, die Zweiwertigkeit, als adäquat betrachten: den Münzenwurf als Zufallsgenerator.

Es begann, als die Mädels sich zu streiten anfingen, wer als erste vorne Schlitten fährt. Es gab zwei Schlitten für vier Mädchen, d.h. die Wahl nur zwischen E. zuerst vorne und G. zuerst vorne für den einen Schlitten, bzw. zwischen M. zuerst vorne und S. zuerst vorne für den anderen. Ich dachte, wohl einer allgemeinen Wahrnehmung entsprechend, dass ein Münzenwurf ein sehr nützliches Verfahren für eine gerechte Auslosung zwischen zwei Optionen ausmacht, und warf einen Zweifränkler.

Das Ergebnis kann man oben sehen…

Man kann sagen, dass das Münzenwerfen in dieser Umgebung die falsche Methode ist, um zwischen zwei Werten zu entscheiden. Aber man kann dieselbe Einsicht auf eine für unsere Metalogik viel folgenschwerere Weise ausdrücken: Für die Werteverteilung des Münzwerfens ist die Bivalenz bei viel Schnee nicht adäquat.

Führt das zum logischen Pluralismus? Wohl zunächst nur zum Pragmatismus. Es gibt in bestimmten Situationen Gründe, die mehrwertige der zweiwertigen Semantik vorzuziehen. Dass liegengebliebener Schnee, ein empirischer Tatbestand, eine solche Situation ist, zeigt, dass die Logik nicht durch und durch a priori ist. Sie entsteht in der Beziehung zwischen gedachter Apriorität und Tatbestand. So wie die Pädagogik in Heidi aus der Beziehung eines pädagogisch ungeeigneten mürrischen Grobians mit einem eher unscheinbaren, jedenfalls nicht außergewöhnlichen Kind entsteht.

Dass Außergewöhnliches, ja Göttliches, aus der Mischung zweier herkömmlicher Charaktere entsteht, ist ein großes Glück. Ich denke, dass es viel seltener passiert, als es erwartet wird. Für einen Logiker ist es aber die einzige Hoffnung auf die Unsterblichkeit. Für den Alltagsmenschen ebenfalls.

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Enough with scrolling

Although far from being a tractate on multivaluedness, Johanna Spyri’s Heidi is a piece of fiction that definitely doesn’t propagate sharp dichotomies – of pedagogical or social nature. And I just experienced how a very distinctive context for which we usually hold bivalence – obviously a sharp dichotomy – to be adequate, i.e. coin tossing, deviates in the country Spyri chose as the environment of her heroes from everything you knew about coin tossing.

It began when the girls started fighting on who would be the first to sit on the front of the sledge and I thought it a good idea to randomize the choice. Since there were two sledges for four girls, the choice was only between the first and the second to sit in front. And a coin is always useful for randomizing a decision among two options – or so I thought.

I tossed and – well you can see the result above…

You can say that tossing coins is not the right method to decide between two values in this environment. This sounds harmless, not however the following reformulation: Bivalence is not adequate to randomize a choice between exactly two values if you have a coin and much snow.

Does this insight speak for logical pluralism? Well, it does speak for pragmatism, but I doubt that we have to go that far to embrace pluralism. At any rate, there are reasons to prefer this to that semantics and these reasons can be empirical data like much snow. Logic is not only a priori. There is a desiderate to describe something that is a priori, but there are also empirical data that tell you if your description is adequate. Logic emerges in the tension between the a priori in our minds and the a posteriori out of them – out of our minds so to say…

And it is something that drives you crazy to know that the excellence of logic is based on not-so-excellent material. Recall that also Heidi’s education was based on the relationship between a nasty old man and a rather ordinary child.

In logic and in Heidiland it’s not about the materials. They are not quite suitable anyway. It’s rather about how you put them together.

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Ignorabimus

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Der halblateinische Satz stammt von David Hilbert, dem Mathematiker, der Anfang des 20. Jh. die Agenda der Mathematik diktieren wollte:

In der Mathematik gibt es kein Ignorabimus

Will sagen, in der Mathematik gibt es keine Probleme, die ungelöst bleiben werden, obwohl alles vorhandene Hintergrundwissen offen liegt.

Hilbert meinte, dass die Mathematik dem Alltagsgefühl entgegensteht, alles verfügbare Wissen erschlossen zu haben, ohne zu nützlichen Resultaten je kommen zu können. Dass sich aber selbst in der Mathematik ähnlich wie im Alltag verhalten kann, wissen wir seit Gödels Unvollständigkeitssatz: Mathematische Wahrheiten ohne Beweisverfahren gibt es genauso gut wie den Verlust von Socken ohne vernünftige Erklärung über ihren Verbleib. Zwar würde ein Platonist oder ein anachronistischer Hilbert-Revisionist meinen, dass die Mathematik und das Problem der einzelnen Socken nichts miteinander zu tun haben, da das Schicksal der verlorenen Socken nur auf Zufall beruht, während in der Mathematik nichts dem Zufall unterliegt.

Aber dass die unbewiesenen mathematischen Wahrheiten diese und keine anderen sind, ist in einem Sinn auch zufällig. Wenn es in einem Sinn notwendig wäre, dass die-und-die Wahrheiten nicht beweisbar sind, dann ließe sich anhand von anderen Wahrheiten erklären, dass diese zwar Wahrheiten sind, die aber ohne Beweis bleiben müssen. Infolge dessen hätte es somit eine Ableitung dieser Sätze gegeben, was gegen die Annahme ist, dass sie ohne Beweis sind.

Analog dazu gibt es keine Erklärung dafür, warum das Sockenmonster gerade diese Socken fraß.

Hilbert und Socken

The semi-Latin quote is typically associated with David Hilbert’s ambition to set the agenda of mathematics in the early 20th century:

In mathematics there is no ignorabimus

Hilbert trusted that in mathematics there will be no problems bound to remain unsolved after all background knowledge will have been available to us.

Mathematics was for Hilbert a discipline which opposed to the everyday experience of no useful results despite much knowledge. However, since Goedel’s incompleteness theorem we know that there are unproven mathematical truths just like there are unexplainably missing socks. A Platonist or an anachronistic Hilbert revisionist would say, of course, that mathematics and the problem of single socks are different since there is not a fate of a missing sock: socks are missing accidentally. In mathematics there is nothing accidental – at least so they would say.

Notice, however, that the fact that this and this are unproven mathematical truths is also accidental. If it were not, then there would be some mathematical truths which would explain why the unproven mathematical truths are truths but unproven. But this would, of course, be to prove them against the assumption that they are unproven.

Analogously, there is no explanation for the fact that, of all socks, the sock monster ate these-and-these.